放寬納什均衡的概念
考慮一個遊戲 $ N $ 球員，每個人都被索引 $ i=1,…,N $ . 每個玩家 $ i $ 必須選擇一個 $ J\times 1 $ 動作向量 $ a_i\equiv (a_{i,1},…,a_{i,J}) $ 其中每個 $ a_{i,j} $ 可以是零或一。每個玩家的回報 $ i $ 是 $ u_i(a_i, a_{-i}) $ ， 在哪裡 $ a_{-i} $ 表示其他玩家的動作。
作為第一個最好的，我想證明這個遊戲有一個純策略納什均衡（PSNE）。我不能這樣做，我也不想允許混合策略。作為次優，我很樂意考慮一個較弱的均衡概念（仍然是純策略）並展示它的存在。
特別是，根據顯性偏好，如果 $ (a_1,…,a_N) $ 是一個 PSNE，則以下成立：
$$ \forall i=1,…N \quad \forall j=1,…,J: \quad \text{if } a_{i,j}=1\text{, then } u_i(a_i, a_{-i})\geq u_i(a_{i, {-j}}, a_{-i})\ \hspace{6.5cm} \text{if } a_{i,j}=0\text{, then } u_i(a_{i}, a_{-i})\geq u_i(a_{i,{+j}}, a_{-i}) $$
在哪裡 $ a_{i, {-j}} $ 表示 $ a_i $ 在哪裡 $ a_{i,j}=1 $ 被替換為 $ a_{i,j}=0 $ ; $ a_{i, {+j}} $ 表示 $ a_i $ 在哪裡 $ a_{i,j}=0 $ 被替換為 $ a_{i,j}=1 $ .
**問題：**純戰略中是否存在任何均衡概念，例如：
- 它比PSNE弱
- 它意味著上面報告的顯示的偏好不平等
- 它的存在通常更容易顯示（並且，如果您可以對此提供參考）
不，那裡沒有。考慮一個有兩個玩家 Ann 和 Bob 的遊戲。兩者都選擇帶有條目的此類向量 $ 0 $ 或者 $ 1 $ 形式的 $ (a_1,a_2,\ldots,a_J) $ 或者 $ (b_1,b_2,\ldots,b_J) $ ， 分別。如果 $ \sum_{i=1}^J a_i+b_i $ 很奇怪，安贏，鮑勃輸。如果數字是偶數，安輸，鮑勃贏。顯然，其中一個在純策略的每個配置文件中都會失敗，而失敗者可以通過僅更改他們選擇的向量的一個條目來獲勝。因此，顯示的偏好不等式不存在純粹的策略配置文件。