具有不確定性的單智能體決策問題中的強韌預測
我希望您能幫助我更好地理解在具有不確定性的**單智能體決策問題中使用****貝氏相關均衡 (BCE)**概念來預測對信念環境具有強韌性的最優策略的可能性。本文提供了 BCE 的概念，用於通用 $ N $ -玩家遊戲。
考慮以下不確定性下的單智能體選擇問題。
讓 $ V $ 在支持下成為世界的狀態 $ \mathcal{V} $ 和機率分佈 $ P_V\in \Delta(\mathcal{v}) $ . 一、讓大自然畫出一個實現 $ v $ 的 $ V $ 從 $ P_V $ . 然後，讓決策者選擇一個動作 $ y\in \mathcal{Y} $ ， 和 $ \mathcal{Y} $ 有限的，沒有觀察到的 $ v $ . 做出決定後，決策者將獲得回報 $ u(y,v) $ .
例如，假設 $ \mathcal{Y}\equiv {1,2,3} $ . $ V $ 是一個 $ 3\times 1 $ 隨機向量， $ V\equiv (V_1,V_2,V_3) $ . $ P_V $ 是三變數標準正態分佈。 $ u(y,v)\equiv v_y $ .
在選擇一項行動之前，決策者可以收到至少一個信號來改進她的先前（最少資訊量）。我假設這個最小信號完全沒有資訊（退化的資訊結構）。
現在，我想使用 Bergemann 和 Morris (2016) 中的定理 1 在對決策者處理的資訊量（在這種情況下為退化）的最小假設下表徵一組最優策略。為此，我介紹了單人貝氏相關均衡 (BCE) 的概念。
所描述遊戲的單人 BCE 是機率分佈 $ P_{Y,V}\in \Delta(\mathcal{Y}\times \mathcal{V}) $ 這樣：
$ \forall v \in \mathcal{V} $ $$ \sum_{y\in \mathcal{Y}}P_{Y,V}(y,v)=P_V(v) $$
$ \forall y\in \mathcal{Y} $ 和 $ \forall \tilde{y}\neq y $ $$ \sum_{v\in \mathcal{V}} (v_y-v_{\tilde{y}}) \times P_{Y,V}(y,v)\geq 0 $$
問題：
1）在我的範例中是否存在 BCE 並且是唯一的？
2）現在假設我確定決策者除了退化的資訊結構之外沒有任何資訊。在這種情況下，我將如何描述最優策略（無需對可能更豐富的信念環境保持穩健）？該定義與上面給出的 BCE 定義有何不同？
1）鑑於 $ \mathcal{Y} $ 是有限的，顯然 BCE 不是一個空集（或者它存在）。請記住，BCE 的集合是對某些信念的最優決策的集合 $ \mathcal{V} $ 可以在觀察一些信號並具有先驗之後形成（作為後驗信念） $ P_V $ .
為了顯示至少有一個分佈滿足 BCE 的定義，您可以考慮一個無資訊信號。鑑於只有一組有限的動作，其中一個必須在給定先驗的情況下最大化預期效用。如果有多個，請隨意在其中隨機分配。讓最優動作為 $ P_Y^* $ （在這個符號中，我擷取了最大化器是唯一的和有多個最大化器的兩種情況）並定義 $ P_{Y,V}=P_Y^*P_V $ ，那麼這樣的分佈就構成了 BCE。
現在，您不應該期望唯一性，因為如果只有一個分佈構成 a，或者如果 BCE 是一個單例（因為我們通常將 BCE 視為一個集合），那麼資訊本質上是不相關的。這將意味著有一個動作 $ \mathcal{Y} $ 無論您可能收到任何額外資訊，這是最好的行動。
2）為了表徵這一點，只需找到當信念等於先驗時的最優策略， $ P_V $ . 如果你想用你擁有的兩個表達式來表達它，那麼 $ P_{Y,V} $ 必須是產品分佈，即 $ P_{Y,V}(y,v)=P_Y(y)\cdot P_V(v) $ 對於一些 $ P_Y(y)\in\Delta(\mathcal{Y}) $ （這將捕捉到玩家除了先驗之外沒有更多資訊，因此無法將他的行為與世界狀態相關聯）。第二個不等式將確定 $ P_Y $ . 事實上，使用上一個要點中的符號，它應該等於 $ P_Y^* $ .