順序和完美貝氏均衡：一個例子？
我的問題很簡單。有人可以舉一個例子，說明如何在給定一組完美貝氏均衡的情況下確定順序均衡？
順序均衡的定義，其中一致的非均衡信念是完全混合策略序列的限制，這有點抽象，所以我不確定如何在實踐中使用它。
任何幫助，將不勝感激。
以啤酒和乳蛋餅遊戲為例。
讓我們驗證以下是否為弱 PBE：
- 兩種類型（ $ S $ 和 $ W $ ) 的玩家 1 選擇啤酒 ( $ B $ );
- 當玩家 2 看到啤酒選擇時，他認為玩家 1 是類型 $ S $ 有機率 $ 0.9 $ ， IE $ \mu_2(S\mid B)=0.9 $ ，他選擇 $ R $ 作為回應；
- 如果玩家 2 看到一個乳蛋餅選擇（ $ Q $ )，他可以有任何信念，分配的機率不超過 $ \frac12 $ 給玩家 1 打字 $ S $ ， IE $ \mu_2(S\mid Q)=p\in[0,\frac12] $ ，他會選擇 $ F $ .
下圖描繪了博弈樹中的上述均衡。
鑑於玩家 2 的策略 $ (R,F) $ ， IE $ R $ 後 $ B $ 和 $ F $ 後 $ Q $ , 玩家 1 最好選擇 $ B $ : $$ \begin{align} u_1(B,(R,F)\mid S)=3&>0=u_1(Q,(R,F)\mid S)\ u_1(B,(R,F)\mid W)=2&>1=u_1(Q,(R,F)\mid W). \end{align} $$
給定玩家 1 的策略 $ \sigma_1(B\mid S)=\sigma_1(B\mid W)=1 $ ，即選擇 $ B $ 無論類型如何，玩家 2 的信仰之後 $ B $ 可以從貝氏規則推導出： $$ \begin{align} \mu_2(S\mid B)&=\frac{0.9\cdot\sigma_1(B\mid S)}{0.9\cdot\sigma_1(B\mid S)+0.1\cdot\sigma_1(B\mid W)}=\frac{0.9\cdot 1}{0.9\cdot 1+0.1\cdot 1}=0.9 \end{align} $$ 鑑於這種信念，玩家 2 最好選擇 $ R $ 後 $ B $ : $$ \begin{equation} u_2(R,\sigma_1\mid B)=0.9(0)+0.1(0)=0>-0.8=0.9(-1)+0.1(1)=u_2(F,\sigma_1\mid B). \end{equation} $$ 貝氏規則不適用於之後的資訊集 $ Q $ ， 自從 $ Q $ 以機率零播放，根據 $ \sigma_1 $ . 因此，任何任意信念都將滿足弱 PBE 的要求。然而，為了證明 $ F $ 作為最佳響應，信念必須是這樣的 $$ \begin{align} u_2(F,\sigma_1\mid Q)=p(-1)+(1-p)(1)>p(0)+(1-p)(0)=u_2(R,\sigma_1\mid Q) \quad\Rightarrow\quad p\le\frac12. \end{align} $$
因此，我們已經表明，所提出的策略配置文件和信念系統是一個弱 PBE。
接下來，我們證明這個弱 PBE 也是一個 SE。為此，我們需要特別證明，參與者 2 在弱 PBE 中指定的信念可以通過一系列參與者 1 的完全混合策略收斂到她的均衡策略來證明。
輸入 $ S $ 採用混合的行為策略 $ B $ 有機率 $ (1-\epsilon_S) $ 和 $ Q $ 和 $ \epsilon_S $ . 同樣，讓輸入 $ W $ 玩 $ B $ 有機率 $ (1-\epsilon_W) $ 和 $ Q $ 和 $ \epsilon_W $ . 我們想證明存在的序列 $ \epsilon_S $ 和 $ \epsilon_W $ ，兩者都收斂到零，因此參與者 2 的均衡信念在 $ B $ 和 $ Q $ 是使用貝氏規則從這些完全混合的策略中得出的信念的限制。
首先考慮玩家 2 的信念 $ B $ . 在參與者 1 的完全混合策略下，參與者 2 的信念是 $$ \begin{equation} \widetilde \mu_2(S\mid B)=\frac{0.9(1-\epsilon_S)}{0.9(1-\epsilon_S)+0.1(1-\epsilon_W)}, \end{equation} $$ 這顯然收斂到 $ \mu_2(S\mid B)=0.9 $ 作為 $ \epsilon_S,\epsilon_W\to0 $ .
接下來，考慮玩家 2 的信念 $ Q $ . 在參與者 1 的完全混合策略下，參與者 2 的信念是 $$ \begin{equation} \widetilde \mu_2(S\mid Q)=\frac{0.9\epsilon_S}{0.9\epsilon_S+0.1\epsilon_W}, \end{equation} $$ 我們希望這等於 $ p\le\frac12 $ 作為 $ \epsilon_S,\epsilon_W\to0 $ . 認為 $ p>0 $ . 修復一個小而積極的 $ \epsilon_S $ , 並設置 $ \epsilon_W=\frac{9(1-p)}p\epsilon_S $ . 因此， $$ \begin{equation} \widetilde\mu_2(S\mid Q)=\frac{0.9\epsilon_S}{0.9\epsilon_S+0.1\cdot\frac{9(1-p)}p\epsilon_S}. \end{equation} $$ 作為 $ \epsilon_S\to0 $ ，這意味著 $ \epsilon_W\to0 $ ， 我們有 $ \widetilde\mu_2(S\mid Q)\to\mu_2(S\mid Q)=p $ . 如果 $ p=0 $ ，那麼我們可以設置 $ \epsilon_W=\sqrt{\epsilon_S} $ ，這將產生相同的收斂結果。
由於玩家 1 的信念非常一致，我們得出結論，弱 PBE 的策略概況和信念系統是 SE。
