無法獲得完整資訊時的貝氏相關均衡集
模型
考慮一個決策者 (DM) 必須選擇行動的遊戲 $ y\in \mathcal{Y} $ 可能沒有完全了解世界的狀況。
世界狀況有支持 $ \mathcal{V} $ .
當 DM 選擇行動時 $ y\in \mathcal{Y} $ 世界的狀態是 $ v\in \mathcal{V} $ ，她收到了回報 $ u(y,v) $ .
讓 $ P_V\in \Delta(\mathcal{V}) $ 成為 DM 的先驗。
DM 還可以處理一些信號（由資訊結構的概念形式化）來改進他的先驗並獲得後驗。
問題
讓我們定義 Bergemann 和 Morris（2013，2016 等）中提供的單人貝氏相關均衡的概念。
$ P_{Y,V}\in \Delta(\mathcal{Y}\times \mathcal{V}) $ 是 1 人貝氏相關均衡，如果
$ \sum_{y\in \mathcal{Y}}P_{Y,V}(y,v)=P_V(v) $ 對於每個 $ v\in \mathcal{V} $
$ \sum_{v\in \mathcal{V}}u(y,v) P_{Y,V}(y,v)\geq \sum_{v\in \mathcal{V}}u(k,v) P_{Y,V}(y,v) $ 對於每個 $ y $ 和 $ k\neq y $ .
Bergemann and Morris (2016) 中的定理 1 聲稱 1 人貝氏相關均衡的集合等於一系列可能的資訊結構下的最優行為集（這個結果實際上適用於任何 n 人遊戲，因此也適用於 $ n=1 $ 在這種情況下）。
這樣的資訊結構可以從退化的資訊結構（即，沒有關於該世界狀態的任何資訊，因此，先驗等於後驗）到完整的資訊結構（即，對世界狀態的完全揭示）。
我的問題是：我們能否在代理無法獲得完整的資訊結構（即代理無法發現狀態的確切值）的假設下為上述模型描述單人貝氏相關均衡的集合？如果是，如何？我認為這應該相當於在上面的定義中插入第三個約束，但我看不出是哪一個。
Bergemann and Morris (2016) 中的定理 1 在這種情況下仍然成立嗎？
你當然可以做到。但是，請記住，BCE 不會“小很多”。這是因為有許多資訊結構幾乎完全可以提供資訊，或者完全揭示了一些狀態，但不是全部。因此，通過禁止完整的資訊結構，您只是刪除了一組 BCE 邊界中的一個元素。還要記住，這個集合通常有無限多的元素。例如，由於它是一個凸集，因此其中兩個元素的任何凸組合也在該集合中。
回到你的問題，有很多方法可以排除完整的資訊結構。想到的一個源於這樣一個事實，即一個完整的資訊信號將對應於一個 BCE，其中每個 $ y\in Y $ , 的支持 $ P_{V|Y} $ 是單例。請注意，如果是這種情況，了解您應該採取的行動意味著了解世界的狀態。
因此，額外的約束是 $ P_{Y,V} $ 必須滿足存在一個 $ y^\in Y $ 使得給定動作的狀態的條件機率支持的基數大於 1，即 $ |P_{V|y^}|>1 $ . 這與至少在某些情況下 DM 在收到選擇行動的建議後仍然不確定世界狀態的想法是一致的 $ y^* $ .
請注意，一個信號完全揭示了除了一種狀態之外的所有世界狀態，而是引發了對這種狀態的後驗信念。 $ 99.999% $ 不會被額外的約束排除，所以包含約束影響很小。