為餅圖共享問題建立模型
我正在以$的價格購買一件物品（我的價值為 100 萬美元） $ 100 $ . 我的朋友有一個今天到期的特別優惠，除非我使用，否則他永遠不能再使用，這讓我以$的價格獲得了該項目 $ 90 $ . 然而，他最初要求我給他 $ x \in (0,10) $ 美元啟動此優惠。原則上，我可以拒絕和還價，他可以拒絕我的還價和重新報價，不打折，無限制。什麼模型可以用來解決這個問題並找到平衡？顯然，我們倆都更願意達成協議。我在想也許在到期時會有一些折扣，但這仍然不是很有意義……
$$ Real-life situation between rational, utility-maximizing risk-neutral players. $$
在打折的情況下，情況是經典的魯賓斯坦討價還價遊戲，其中兩名玩家交替提出要約來瓜分縮小的餡餅。
如果不打折，我不確定均衡是否一定存在。也許您可以對每一輪的報價施加限制，例如一輪報價 $ t $ 必須在一輪報價設定的範圍內 $ t-1 $ .
打折不是這樣的。折扣意味著您相對於現在將未來打折多少——例如，明天收到1美元相當於今天收到 0.90美元。
您所描述的是“達成協議的重要性”的一些概念，因為截止日期即將到來。但是，就建模而言，這需要有限的視野，這與您的廣告無限假設相矛盾。所以，我想一個問題是你的視野是有限的還是無限的。
我理解現實生活中的場景：你們必須在明天（截止日期）之前做出決定，但與此同時，你們可以交替地相互提供報價。在這種情況下，範圍是有限的，儘管報價之間的間隔很短。
無論如何，我認為這個遊戲是標準交替報價遊戲（a’la Stahl-Rubinstein）的輕微變化，因為賣家沒有使用商品——正如我從你的描述中了解到的那樣。這在具有偶數週期的有限視野模型中很重要，在該模型中，買方提出最後的報價（見下文）。
下面我描述有限視界版本。
Players and Utilities：您是買方，該物品對您價值10美元，對您的朋友（賣方）價值0 美元。你們都有一個共同的折扣因素 $ \delta $ （注：如果 $ \delta=1 $ 那麼你看重未來和今天一樣）。如果你以價格達成協議 $ P $ 在時間段 t 內，則
- 按現值計算的買方收益為 $ V_B = \delta^{t-1} (10-P) $ ,
- 賣方目前的收益為 $ V_S = \delta^{t-1} P $ .
- 注意：我假設賣家不重視該物品，因為根據您的描述，情況似乎如此。
Actions/Offers：遊戲從 t=1 開始，持續 T 個週期。賣方（您的朋友）提出第一個報價。買方要麼接受，要麼拒絕。如果買方接受，則遊戲結束。如果買方拒絕，他/她會提出還價。然後賣方要麼接受，要麼拒絕……以此類推……直到達成協議或在沒有協議的情況下達到 T 期。
由於地平線是有限的，我們可以通過反向歸納來解決這個遊戲。
- 奇數 T
在最後一個時期，賣家（你的朋友）正在提出要約。她只會問 $ P_T=\$10 $ . 你會接受付出的回報 $ V_{B,T}=0, V_{S,T}=10 $ .
在 T-1 期間，買方（您）預見到這一點並提供 $ P_{T-1} $ 使賣家對收貨無動於衷 $ P_{T-1} $ 今天和 $ P_T $ 明天。因此， $ P_{T-1}=\delta P_T $ . 回報 $ V_{B,T-1}=10(1-\delta), V_{S,T-1}=10\delta $ .
在 T-2 期間，賣方預料到這一點並提供 $ P_{T-2} $ 這樣買方只是無所謂接受 $ P_{T-2} $ 並提供 $ P_{T-1} $ 下一期將被接受。因此， $ 10-P_{T-2}=\delta(10(1-\delta) $ 和 $ P_{T-2} = 10(1-\delta(1-\delta)) $ . 回報： $ V_{B,T-2}=10\delta(1-\delta), V_{S,T-2}=10(1-\delta(1-\delta)) $ .
通過類似的推理，在 T-3 時，買方提供 $ P_{T-3}=10\delta(1-\delta(1-\delta)) $ ，這是被接受的給予回報 $ V_{B,T-3}=10(1-\delta(1-\delta(1-\delta))), V_{S,T-3}=10\delta(1-\delta(1-\delta)) $
依此類推，直到我們到達階段 1，賣方提供 $ P_1=10(1+\sum_{i=1}^{T-1}(-\delta)^i)=10(1-\delta+\delta^2+…+\delta^{T-1}) $ 並被買方接受。回報： $ V_B=10-P_1, V_S=P_1 $ .
如果 $ \delta=1 $ , 賣家提供 $ P_1=10 $ 立即被接受。請注意，由於 T 是奇數，因此 T-1 是偶數並且 $ P_1=10(1-\delta+\delta^2+…+\delta^{T-1})=10 $ 因為所有 $ \delta $ s 取消。
（一般情況下，在奇數週期 Tt，當賣方提出要約時，賣方要約 $ P_{T-t} = 10(1+\sum_{i=1}^{t}(-\delta)^i)=10(1-\delta+\delta^2-\delta^3+….) $ .
在偶數週期 Tt 中，買方提供 $ P_{T-t}=10\delta(1+\sum_{i=1}^{t-1}(-\delta)^i) $ ，這是被接受的。）
- 事件
由於賣方在奇數週期出價，而買方在偶數週期出價，因此買方可以最後出價。
在 t=T 時，買方提供 $ P_T=0 $ ，這是被接受的給予回報 $ V_B=10, V_S=0 $ . 注意：這裡假設賣方不關心好咬。如果賣家對物品有價值，那麼 $ P_T $ 將等於賣方的價值。
在 t=T-1 時，通過與上述類似的推理，賣方提供 $ P_{T-1} $ 讓買家無所謂 $ P_{T-1} $ 今天和 $ P_{T} $ 下一個時期。於是，她解決了 $ 10-P_{T-1}=10\delta $ ， 這使 $ P_{T-1}=10(1-\delta) $ . 回報是 $ V_B=10\delta, V_S=10(1-\delta) $ .
在 t=T-2 時，買方提供 $ P_{T-2}=\delta P_{T-1}=10\delta(1-\delta) $ 讓賣家無所謂接受 $ P_{T-2} $ 今天和提供 $ P_{T-1} $ 明天（這將被接受）。因此，收益為 $ V_B=10(1-\delta(1-\delta)), V_S=10\delta(1-\delta) $ .
依此類推，直到我們到達第 1 階段，賣方提出第一個報價。請記住，這個遊戲以買家提出最後一個報價而告終。
賣家提供 $ P_1=10(1+\sum_{i=1}^{T-1}(-\delta)^i)=10(1-\delta+\delta^2+…+\delta^{T-1}) $ 並被買方接受。回報： $ V_B=10-P_1, V_S=P_1 $ .
再次假設 $ \delta=1 $ . 現在自從 $ T-1 $ 很奇怪，我們有 $ P_1=0 $ .
- 結論：有限的視野和 $ \delta=1 $ 對於兩名球員來說，我們都有後發優勢，因為兩名球員都有無限的耐心。
- 無限地平線： $ \delta=1 $ 是一個極限情況，你們都將它平分。
Stahl-Rubinstein 的有用讀物：
（有限視界）https://cs.uwaterloo.ca/~klarson/teaching/W06-886/Rubinstein.pdf
（有限視界） https://sites.duke.edu/niou/files/2011/05/Lecture-6-Bargaining.pdf
（無限地平線） https://web.stanford.edu/~jdlevin/Econ%20203/RepeatedGames.pdf