當拍賣師設定保留價時，在有 N 個均勻分佈的投標人的次價拍賣中，投標人的預期收益是多少？
我想知道競標者在第二價拍賣中的預期收益是什麼樣的 $ N={1,2,…,n} $ 投標人，其中每個投標人 $ i\in N $ 具有獨立且均勻分佈的估值 $ v_i\sim U(0,1) $ , 拍賣師設定底價, $ r $ .
我假設每個投標人都已經知道 $ r $ 就像她知道自己的真實估價，但只知道其他投標人估價的分佈，並且她假設所有其他投標人都出價他們的真實估價 $ b_{-i}^*=v_{-i} $
因此，投標人i的支付函式為： [ui(bi,b−i,r)={vi−max{b−i}if bi>max{b−i}>rvi−rif bi>r>max{b−i}0if bi<r∨bi<max{b−i}Math Processing Error] $ u_i(b_i,b_{-i},r) = \left{ \begin{array}{lr} v_i-\max{b_{-i}} & \text{if } b_i>\max{b_{-i}}>r \ v_i-r & \text{if } b_i>r>\max{b_{-i}}\ 0 & \text{if } b_i<r \vee b_i<\max{b_{-i}} \end{array} \right. $
我不確定預期的回報到底是什麼樣的，但我假設它會是這樣的： [E[ui]=P(bi>max{b−i}>r)⋅E[vi−max{b−i}|bi>max{b−i}>r]+P(bi>r>max{b−i})⋅E[vi−r|bi>r>max{b−i}]Math Processing Error] 但我不知道從這裡去哪裡.. $ \mathbb{E}[u_i] = \mathbb{P}(b_i>\max{b_{-i}}>r)\cdot \mathbb{E}\left[ v_i-\max{b_{-i}} | b_i>\max{b_{-i}}>r \right] \ +\mathbb{P}(b_i>r>\max{b_{-i}})\cdot \mathbb{E}\left[ v_i-r | b_i>r>\max{b_{-i}} \right] $
非常感謝任何幫助！
讓 $ n \geq 2 $ . 請注意
[Math Processing Error]$$ \mathbb{E}[u_i] = \mathbb{E}[u_i|v_i > r]P(v_i > r) + \mathbb{E}[u_i|v_i \leq r]P(v_i \leq r) = \mathbb{E}[u_i|v_i > r]P(v_i > r) $$ 自從[E[ui|vi≤r]=0Math Processing Error]. 而且， $ \mathbb{E}[u_i|v_i \leq r] = 0 $ $ P(v_i > r) = 1 - r $ 如果這些值是標準統一的。所以計算預期收益[E[ui]Math Processing Error]，剩下的就是計算[E[ui|vi>r]Math Processing Error]. $ \mathbb{E}[u_i] $ $ \mathbb{E}[u_i|v_i > r] $ 讓[pMath Processing Error]表示您的對手送出的最高出價。然後我們可以分解 $ p $
[Math Processing Error]$$ \mathbb{E}[u_i|v_i > r] = \mathbb{E}[u_i|v_i > r, p \leq r]P(p \leq r) + \mathbb{E}[u_i|v_i > r, p > r]P(p > r) $$ 從第一學期開始， $$ \mathbb{E}[u_i|v_i > r, p \leq r] = \mathbb{E}[v_i - r|v_i > r] = \frac{1+r}{2} - r = \frac{1-r}{2} $$ 更明顯的是， $ P(p \leq r) = P(v_j \leq r)^{n-1} = r^{n-1} $ 所以 $ P(p > r) = 1 - r^{n-1} $ . 使用投標人和訂單統計結果的對稱性，可以看出 $$ \begin{equation} \begin{split} \mathbb{E}[u_i|v_i > r, p > r] &&= \mathbb{E}[u_i|\text{win}, v_i > r, p > r] P(\text{win}) \ &&= \left(r + (1-r)\left(\frac{n}{n+1}\right) - r - (1-r)\left(\frac{n-1}{n+1}\right) \right)\frac{1}{n} \ &&= \frac{1-r}{n(n+1)} \end{split} \end{equation} $$ 把這一切放在一起，我們有 [ Math Processing Error ]$$ \mathbb{E}[u_i|v_i > r] = \frac{1-r}{2} \times r^{n-1} + \frac{1-r}{n(n+1)} \times (1 - r^{n-1}) $$ 所以（乘以 $ 1 - r $ ) $$ \mathbb{E}[u_i] = \frac{(1-r)^2 r^{n-1}}{2} + \frac{(1-r)^2 (1 - r^{n-1})}{n(n+1)} $$ 請注意，如果 $ r = 1 $ ， 然後 $ \mathbb{E}[u_i] = 0 $ 正如人們所期望的那樣。此外，如果 $ r = 0 $ （沒有保留價格），然後得到（希望熟悉？）表達式 $$ \mathbb{E}[u_i] = \frac{1}{n(n+1)} $$