博弈論中“核心”最一般的定義是什麼？
我已經看到了依賴於一些特定假設的“核心”定義，例如游戲是一種資源轉移，或者存在“效用的可轉移性”（大概是為了捕捉貨幣的概念）來源）。
但是核心的最一般定義是什麼？我們可以談談任何遊戲的核心，還是這個概念從根本上只適用於特定類型的遊戲？
我們可以談論任何遊戲的核心。為了解釋如何讓我直接將其與我們如何定義非合作遊戲進行比較。在標準的非合作遊戲中，我們定義了 Players， $ I $ ，每個玩家的動作集， $ A_i $ 對於每個 $ i\in I $ 以及將任何行動概況映射到收益的收益函式 $ u_i: A\rightarrow \mathbb{R} $ ， 在哪裡 $ A=\prod_{i\in I} A_i $ . 最後，解決方案的概念，例如，納什均衡、相關均衡或合理化是這些對象的一個條件，我們認為這是對將要發生的事情的良好預測。例如，納什均衡預測每個參與者對其他參與者正在做什麼的正確信念做出最好的反應。
核心是另一個解決方案的概念，然而，到目前為止開發的語言還不夠，因為核心的想法是它預測沒有一群人（或聯盟）會產生有利可圖的偏差。很明顯，現在分析的單位是一群人，所以這個設置中的“代理”是 $ P(I) $ , 的冪集 $ I $ ，其中包含所有可能的人員組，因此您需要為每個組定義操作集。一種自然的方式可能是，如果 $ C\in P(I) $ 然後 $ A_C=\prod_{i\in I\cap C} A_i $ ，即聯盟 $ C $ 可以選擇所有玩家的動作。這顯然不是唯一的可能性，也許您希望允許玩家在聯盟中擁有一些自主權，但假設您以這種方式定義行動集。
您還必須為每個可能的聯盟定義收益函式。同樣，一種自然的方式可能是定義 $ u_C=\sum_{i\in iI\cap C} u_i $ ，即聯盟中參與者的效用總和。請注意，您對這個聯盟效用的假設必然會伴隨一些假設，即您如何在聯盟內的玩家效用之間進行替代。
最後，您必須定義哪些聯盟可以共存。例如，玩家是否可以屬於多個聯盟？同樣，一種自然的方法是排除這種可能性，以便在均衡時每個參與者必須只屬於一個聯盟，即 $ C\cap C’=\emptyset $ . 這種語言將允許您定義核心將是這樣一種情況：所有玩家都屬於一個聯盟，每個聯盟為他們的每個玩家選擇一個行動，並且沒有一個玩家子集寧願從他們目前的聯盟中分離出來形成另一個聯盟一個並選擇不同的操作配置文件。
希望我已經明確表示我需要做出幾個假設才能定義核心。特別是如果我想在我開始的原始非合作遊戲中有一些對應物。這很麻煩。
我認為這就是為什麼在某種程度上，一些文獻的發展方式是不將核心的定義（本質上是合作解決方案概念）從屬於非合作博弈的術語。一種方法是直接為聯盟中的每個玩家定義一個收益函式 $ V_i(C) $ 對於每個玩家 $ C\in P(I) $ （這種表示法暗示加入聯盟可能意味著您採取不同的行動）。核心是玩家的分區（每個玩家都屬於一個聯盟，比如說 $ i\in C_i^* $ ) 這樣就沒有聯盟 $ C’\in P(I) $ 這樣對於所有人 $ i\in C’ $ ， 你有 $ V_i(C’)\geq V_i(C_i^*) $ 並且對於某些人來說具有嚴格的不平等 $ i\in C’ $ .
顯然，最後一個公式比我的第一個公式具有更少的假設。但是，也很明顯，它確實有假設。主要的（至少對我來說）是足以知道你屬於哪個聯盟來計算你的回報（即聯盟之間沒有外部性）。另一個重要的假設是玩家只能屬於一個聯盟。這在許多情況下是有限制的，例如，屬於多個利益集團的政客等。
根據你對合作性質和合作偏差的假設，你會得到一個不同的核心定義，但一般原則是相同的。核心是預測沒有一個子組的玩家有動力去協調和改善他們的狀況。所以這個概念並不局限於特定類型的遊戲，但我認為對於如何將其普遍應用到所有類型的遊戲中，我認為還沒有達成共識。