CAPM - 貝塔係數為零及其對多元化的影響
我不知道這是否是提出這個問題的正確論壇，但這裡有。我正在研究 Luenberger 的投資科學。書中給出的CAPM模型形式為
$$ \bar{r}_i - r_f = \beta_i (\bar{r}_M - r_f) $$ 它說如果你的資產有 $ \beta $ 為零，那麼 $ \bar{r}_i = r_f $ . 書上說：“原因
$$ $\bar{r}_i = r_f$ $$是與市場不相關的資產相關的風險可以分散。如果我們有很多這樣的資產，每一個都與其他資產和市場不相關，我們可以購買少量的資產，由此產生的總變異數會很小。” 我同意 Luenberger 的說法，但困擾我的是“如果我們有很多這樣的資產”的部分。如果我們不這樣做， $ \bar{r}_i = r_f $ 仍然成立！那會是什麼解釋呢？CAPM 背後是否有某種理論會說如下聲明：“如果存在一項資產 $ i $ 和 $ \beta_i = 0 $ ，則存在無限多的資產 $ \beta = 0 $ ，彼此不相關”。這是一個強有力且有點荒謬的陳述，但它暗示了 Luenberger 引用的描述——我可以用變異數接近零的此類資產進行投資組合。
任何幫助我理解這個概念的人都將不勝感激。
這裡有一個基本原理，它與多元化與投資組合中資產數量之間的聯繫有關。
假設我們購買了n 個股票的等權組合。那麼收益的變異數為：
$ \sigma_{p}^2 $ = $ \sum $ $ \sum $ $ w_i $ $ w_j $ 這 （ $ R_i $ , $ R_j $ )
在上面的符號中，sigma 是求和的 $ i $ 和 $ j $ 分別為資產收益的變異數-共變異數矩陣的每個元素。
由於每個權重為 1/n，因此該等式等於：
1/ $ n^2 $ * $ \sum $ $ \sum $ 這 （ $ R_i $ , $ R_j $ ).
假設所有股票的平均變異數為 $ \sigma_{avg}^2 $ 所有股票對之間的平均共變異數為 $ Cov_{avg} $ .
然後這個等式簡化為兩個產品的總和（參見Investments、Bodie、Kane 和 Marcus的推導）：
$ \sigma_{p}^2 $ = $ (1/n) $ * $ \sigma_{avg}^2 $ + $ [(n-1)/n] $ * $ Cov_{avg} $ .
讓我們分析第一個產品。隨著股票數量的增加，個股的變異數貢獻變得非常小，因為 $ (1/n) $ * $ \sigma_{avg}^2 $ 接近於零 $ n $ 變大。
現在讓我們分析第二個產品。由於股票之間的平均共變異數對投資組合變異數的貢獻保持非零，因為術語 $ [(n-1)/n] $ * $ Cov_{avg} $ 有一個限制 $ Cov_{avg} $ .
因此，隨著資產數量的增加，投資組合變異數大約等於平均共變異數。
在你上面的例子中，如果有很多這樣的資產，那麼對變異數的貢獻就會很小。此外，如果資產“與他人和市場不相關”，那麼第二項也很小。因此，當 Luenberger 確定的兩個條件都滿足時，變異數幾乎為零。
這裡有一個更直覺的解釋。Beta 為 0 並不意味著變異數為零，證券仍然具有特殊風險（即，收益的隨機部分不能由系統風險解釋）。無風險投資的風險仍然低於貝塔敞口為零的證券，儘管它們都具有相同的預期收益。然而，投資於貝塔敞口為零的大型投資組合的風險遠低於投資於貝塔敞口為零的單一證券。
將特殊錯誤術語“e”添加到您確定的公式中，可以捕捉到分散剩餘風險的想法。’e’ 是一個隨機變數，其期望值為 0，但變異數大於零。只有當一個人建立更大的投資組合時，這個“e”項才會越來越多樣化（即誤差項的變異數接近於零）：
$$ \bar{r}_i - r_f = \beta_i (\bar{r}_M - r_f) + e $$ 換句話說，如果證券數量很大（權重很小），共變異數就成為投資組合變異數的最重要驅動因素。考慮資產收益的變異數-共變異數矩陣。對於“n”個資產組合，有“n”個變異數（對角線）和 n*(n-1)/2 個共變異數（非對角線三角形）。兩隻股票的投資組合有 2 個變異數和 1 個共變異數（即變異數占主導地位）。包含 1,000 隻股票的大型投資組合有 1,000 個變異數項，但有 499,950 個共變異數項（即共變異數占主導地位）。