CAPM、DCF 和 Jensen 不等式
評估現金流的一種方法是首先計算 CAPM 的預期回報，然後使用預期回報對未來現金流進行折現。
這裡的問題是 CAPM 的預期回報是平均值 $ \mathrm{E}[R] $ ，因此，由 Jensen 不等式：
$$ \mathrm{E}\left[\frac{1}{R}\right] \ge \frac{1}{\mathrm{E}[R]} $$ 然後我想知道為什麼人們使用 $ \frac{1}{\mathrm{E}[R]} $ 貼現現金流。
為了澄清，我將舉一個例子。假設從現在起我想估價的一年只有一個 100美元的現金流。根據 CAPM，預期回報為
$$ \bar{R}_a = R_f + \beta_a (\bar{R}m - R_f) $$ 注意返回 $ R $ 定義為 $ R=\frac{S{t+1}}{S_t} $ .
現在這裡的問題是 $ \bar{R}_a $ 代表下一年的平均回報。**實際回報 $ R_a $ 是一個目前未知的隨機變數。**換句話說， $ \bar{R}_a=\mathrm{E}[R_a] $ ， 但 $ R_a $ 是隨機的，並且會在不同的替代宇宙中實現不同的值。
然而，我通常看到的是，我們將每年 100美元的現金流評估為
$$ \frac{100}{\bar{R}_a}=\frac{100}{\mathrm{E}[R_a]} $$ 但它不應該被視為
$$ \mathrm{E} \left [ \frac{100}{R_a} \right] $$? 但根據 Jensen 不等式：
$$ \mathrm{E} \left [ \frac{100}{R_a} \right] \ge \frac{100}{\mathrm{E}[R_a]} $$
您缺少的是現金流本身也是一個隨機變數。我們通過將其與以變異數和共變異數表示的線性風險度量相關聯來評估與該現金流相關的風險……巧合的是，這結果是貝塔，如果 CAPM 確實有效，結果證明我們的生活更輕鬆。
如果你根據價格而不是回報來重寫 CAPM，你會得到看起來像
https://en.wikipedia.org/wiki/Capital_asset_pricing_model#Asset_pricing
$$ P_0=\frac{1}{1+r_f}\left[\mathrm{E}(P_T) - \frac{ \mathrm{Cov}(P_T;R_M)(\mathrm{E}(R_M)-r_f)}{\mathrm{Var}(R_m)}\right] $$ 所以你沒有以期望值打折……
這個公式告訴我們的是，現金流的預期現值不是風險厭惡投資者的正確價格。規避風險的投資者需要額外的風險溢價…
我認為在這種情況下，Jensen 不等式與隨時間的平均回報有關。並且在多個時期貼現時，需要考慮凸性。
也就是說，我們不能簡單地通過使用
$$ \frac{1}{(1+\sum{R_t})} $$作為折扣因素。我們必須真正使用$$ \frac{1}{\prod{(1+R_t)}}. $$ CAPM 是單週期模型。因此，我們使用它來評估單個現金流量，我們形成與該特定現金流量相關的 beta 的事前估計，並且與該特定現金流量的風險相稱。這個測試版適用於特定的地平線。然後計算得到的貼現率與該特定時間範圍相關。
在對現金流量進行貼現時，我們必須對每個現金流量進行此操作，以便與 CAPM 等模型的單期性質保持一致。
如果我們做一個簡化的假設，即所有現金流貝塔都是相同的，那麼我們可以通過持續使用連續複合利率來解決你提到的問題，這樣
$$ \frac{1}{\mathrm{exp}(\sum{R_t})}=\frac{1}{\prod{\mathrm{exp}{(R_t)}}}. $$ 然而，使用這種簡化假設是有問題的。
在評估單個現金流時，您需要該特定時期的市場代理的預期回報，以及特定時期的無風險利率代理和特定時期**的估計前瞻性貝塔。
我想人們可以嘗試使用現金流的麥考利持續時間作為確定所需投入的“平均”時間段。但隨後我們真的開始嚴重偏離 CAPM 的預期用途。
然而，另一個問題是 CAPM 在確定貼現率方面的有效性，但我想這是一個不同的討論。
我不確定我是否回答了這個問題，因為我不完全確定問題是什麼。