從 CML 導出 CAPM
在“從資本市場線簡單推導資本資產定價模型”一文中，作者的理由是：
鑑於 CML
$$ R_p = R_f +\frac{R_m - R_f}{\sigma_m}\sigma_p $$
在哪裡：
- $ R_p $ 是有效投資組合的回報
- $ R_f $ 是無風險利率
- $ R_m $ 是市場投資組合的回報
- $ \sigma_m $ 是市場投資組合收益的標準差
- $ \sigma_p $ 是有效投資組合 p 的回報標準差。
他們聲稱：
沿 CML 的有效投資組合與市場投資組合完全相關。
基於這個陳述，他們可以通過乘以擴展 CML 方程 $ 1 = \rho_{pm} $ ，即有效投資組合 P 和市場投資組合之間的相關性，將任何投資組合的回報定義為其總風險的函式：
$$ R_p = R_f +\frac{R_m - R_f}{\sigma_m}\sigma_p\rho_{pm} $$
CAPM 公式緊隨其後。
現在我有兩個問題：
- 所有有效投資組合完全相關的說法似乎是錯誤的，因為只有持有無風險資產才是有效的投資組合。無風險資產與市場組合完全不相關。所以這個說法不可能是正確的？論文真的有錯誤嗎？我的誤解在哪裡？
- 如果上面的簡單方法不起作用，那麼這個想法一般是否可以挽救，CAPM 是否可以從 CML 導出？
這是一篇可怕的論文。
$ \rho_{pm}=1 $ 對於 CML 上的所有有效投資組合（無風險資產和市場投資組合的組合），在具有無風險資產的 CAPM 中，這是微不足道的（正如您所指出的，對於無風險投資組合本身，但這種極端情況除外可以輕鬆發送。）
所以，當然，你可以乘以 $ \rho_{pm}=1 $ 對於在那條線上的投資組合。
然而，作者接著（含蓄地）聲稱該等式也適用於其他非有效的投資組合，因此提出了這個問題。是的，CAPM 方程確實適用於那些其他非有效的投資組合，但前提是你包括 $ \rho_{pm} $ , 現在不是 $ =1 $ 了。因此，包含它的原始理由不成立。
這就像在說：我現在將推導出歐姆定律。我們確實知道 $ V=I $ 在 R 等於的特殊情況下 $ 1 $ （忽略單位..）。因此，我可以將右手邊與 R 相乘，因為 R 等於 1。因此，我們有 $ V=RI $ . 現在我執行一些複雜的代數運算， $ V/I = R $ , 反轉, $ I/V=1/R $ , $ I=V/R $ ，然後繁榮，嘿，我已經推導出了歐姆定律。