CAPM 是否使用單一索引模型？
當我們推導出 CAPM（即找到資本市場線和證券市場線的方程）時，我們沒有任何地方假設單個證券收益線性依賴於標記收益（即單一指數模型）
然而，當我們解釋CAPM 時，我們說單個證券的預期回報僅取決於其不可分散的風險，我們用 beta (β) 表示。但將 β 視為不可分散的度量，僅通過單指數模型下的變異數分解來證明是合理的。
所以問題是，CAPM 是否需要假設單一索引模型？
（注 - 作為參考，我在下圖中包含了證券市場線的推導，該推導取自Francis 的現代投資組合理論。如您所見，推導不假設單一指數模型）
為了確定均值變異數框架的有效邊界，需要估計預期收益 $ r_i $ , 變異數 $ \sigma_i^2 $ 和共變異數 $ \sigma_{ij}^2 $ 每隻股票 $ i $ , $ j $ . 為了 $ n $ 股票，你必須估計總共 $ \frac{n(n-1)}{2} $ 相關係數。使用索引模型來減少所需的大量估計。
單指數模型
假設，股票的回報可以寫成 $$ r_i = a_i + \beta_i r_m + e_i $$ ，在哪裡 $ r_m $ 表示市場回報， $ e_i $ 平均零誤差項和 $ \beta_i $ 股票貝塔。關鍵假設是： $$ \operatorname{E}[e_i(r_m-\bar{r}m]=0 $$ $$ \operatorname{E}[e_ie_j]=0 $$ 這意味著，股票系統地一起變化的唯一原因是與市場的共同關聯。可以證明，共變異數可以表示為 $$ \sigma{ij}^2 = \beta_i \beta_j \sigma_m^2 $$ ， 在哪裡 $ \sigma_m^2 $ 表示市場收益的變異數。總之，如果你假設單指數模型，你只需要估計總共 $ 3n+1 $ 參數為 $ n $ 股票。
資本資產定價模型
CAPM是一種均衡的經濟理論，對投資者的效用偏好函式、無成本多元化、…
結合 Markowitz 投資組合多元化、馮諾依曼和摩根斯坦預期效用等經濟理論，得出 CAPM（其中 $ r^f_t $ 表示無風險利率）：
$$ r_{i,t}-r^f_t = \alpha_i + \beta_i(r^m_t-r^f_t)+ \epsilon_{i,t} $$
，具有以下（強）假設：
$$ \alpha_i = 0 $$
您可以查看更多詳細資訊的出色答案。
與單一指數模型和 CAPM 的區別
事實上，單一指標模型只是一種統計技術，因為你可以替換 $ r_m $ 與您認為最適合解釋股票收益的任何其他變數。然而，CAPM 是一種處於均衡狀態的經濟模型，其中市場投資組合收益 $ r_m $ 是一個明確確定的投資組合（包括所有風險資產、投資以及人力資本……）。另請參閱此答案：
這 $ \beta_i $ 對於單指數模型中的股票是不一樣的 $ \beta_i $ 就像在 CAPM 中一樣。
參考：
Elton/Gruber/Brown/Götzmann (2014)，現代投資組合理論和投資分析，編輯。9，約翰威利父子公司。