卡爾曼濾波器更新方程
假設期貨價格 $ F(t,T) $ 遵循由以下隨機過程描述的 Ito 過程
$$ ln F(t,T)=lnF(0,T)+(Z_1(t)e^{-k(T-t)}+Z_2(t))-(1/4k)[(1-e^{-2kT})(h_1^2+h_2^2))+4h_1h_0(1-e^{-kT})+2h_0^2tk] $$ 在哪裡 $ Z_1(t) $ 和 $ Z_2(t) $ 是以下狀態變數：
$$ dZ_1(t)=-kZ_1(t)dt+h_1dW_1(t)+h_2dW_2(t) $$ $$ dZ_2(t)=h_0dW_1(t) $$ 認為 $ W_1 $ 和 $ W_2 $ 是獨立的。如何導出卡爾曼濾波器更新/測量方程來估計參數 $ h_0,h_1,h_2,k $ ? 觀察結果是 $ lnF(t,T) $ . 非常感謝
考慮歷史觀察日期 $ t_0 < t_1 < \cdots < t_n $ . 從狀態變數方程
$$ \begin{align*} dZ_t^1&=-kZ_t^1dt+h_1dW_t^1+h_2dW_t^2,\ dZ_t^2&=h_0dW_t^1. \end{align*} $$ 我們得到，因為 $ i=1, \ldots, n $ , $$ \begin{align*} Z_{t_i}^1 &= e^{-k \Delta t_i} Z_{t_{i-1}}^1 + h_1 \int_{t_{i-1}}^{t_i}e^{-k (t_i-s)}dW_s^1 + h_2 \int_{t_{i-1}}^{t_i}e^{-k (t_i-s)}dW_s^2,\tag{1}\ Z_{t_i}^2 &= Z_{t_{i-1}}^2 + h_0 \int_{t_{i-1}}^{t_i}dW_s^1.\tag{2} \end{align*} $$ 讓 $$ \begin{align*} \pmb{x}{t_i} &= [Z{t_i}^1, \ Z_{t_i}^2]^T, \end{align*} $$ 和 $$ \begin{align*} F &= \left(! \begin{array}{cc} e^{-k\Delta t_i} & 0\ 0 & 1 \end{array} !\right). \end{align*} $$ 此外，讓 $$ \begin{align*} \pmb{v}{t_i} = \bigg[h_1 \int{t_{i-1}}^{t_i}e^{-k (t_i-s)}dW_s^1 + h_2 \int_{t_{i-1}}^{t_i}e^{-k (t_i-s)}dW_s^2, \ h_0 \int_{t_{i-1}}^{t_i}dW_s^1\bigg]^T \end{align*} $$ 是具有零均值和共變異數矩陣的二維正態隨機向量 $$ \begin{align*} Q = \left(! \begin{array}{cc} \frac{h_1^2+h_2^2}{2k}\big(1-e^{-2k \Delta t_i} \big) & \frac{h_0h_1}{k} \big(1-e^{-k\Delta t_i} \big) \ \frac{h_0h_1}{k} \big(1-e^{-k\Delta t_i} \big) & h_0^2 \Delta t_i \end{array} !\right). \end{align*} $$ 那麼，根據 $ (1) $ 和 $ (2) $ , $$ \begin{align*} \pmb{x}{t_i} = F \pmb{x}{t_{i-1}} + \pmb{v}_{t_i}, \end{align*} $$ 這是過渡方程或狀態方程。 讓 $ T_1 < \cdots < T_m $ 成為期貨到期日。從方程
$$ \begin{align*} \ln F(t,T)&=\ln F(0,T)+\left(Z_t^1 e^{-k(T-t)}+Z_t^2\right) \ &\qquad -\frac{1}{4k}\left[(1-e^{-2kT})(h_1^2+h_2^2))+4h_1h_0(1-e^{-kT})+2h_0^2tk\right], \end{align*} $$ 我們得到 $$ \begin{align*} \ln F(t_i,T_j)&=\ln F(0,T_j)+\left(Z_{t_i}^1 e^{-k(T_j-t_i)}+Z_{t_i}^2\right) \ &\qquad -\frac{1}{4k}\left[(1-e^{-2kT_j})(h_1^2+h_2^2))+4h_1h_0(1-e^{-kT_j})+2h_0^2t_ik\right].\tag{3} \end{align*} $$ 觀察時間 $ t_i $ ， 讓 $ \pmb{y}{t_i} $ 豆 $ m $ 維觀察向量定義為 $$ \begin{align*} \pmb{y}{t_i} = \left(! \begin{array}{c} \ln F(t_i, T_1)\ \vdots\ \ln F(t_i, T_m) \end{array} !\right), \end{align*} $$ 和 $ \pmb{d}{t_i} $ 豆 $ m $ 由下式定義的維確定性向量 $$ \begin{align*} \pmb{d}{t_i} = \left(! \begin{array}{c} \ln F(0,T_1) - \frac{1}{4k}\left[(1-e^{-2kT_1})(h_1^2+h_2^2))+4h_1h_0(1-e^{-kT_1})+2h_0^2t_ik\right]\ \phantom{\frac{\frac{1}{1}}{\frac{1}{1}}} \vdots \phantom{\frac{\frac{1}{1}}{\frac{1}{1}}}\ \ln F(0,T_m) - \frac{1}{4k}\left[(1-e^{-2kT_m})(h_1^2+h_2^2))+4h_1h_0(1-e^{-kT_m})+2h_0^2t_ik\right] \end{array} !\right). \end{align*} $$ 此外，讓 $ H $ 豆 $ (m \times 2) $ 矩陣定義為 $$ \begin{align*} H = \left(! \begin{array}{cc} e^{-k(T_1-t_i)} & 1\ \phantom{\frac{\frac{1}{1}}{\frac{1}{1}}}\vdots\phantom{\frac{\frac{1}{1}}{\frac{1}{1}}} & \vdots\ e^{-k(T_m-t_i)} & 1 \end{array} !\right), \end{align*} $$ 和 $ \pmb{w}{t_i} $ 是一個 $ m $ 具有零均值和恆定共變異數矩陣的維正態隨機向量 $ V $ , 定義如下。然後，基於方程 $ (3) $ , $$ \begin{equation}\label{spot_forward_measurement_eqn} \pmb{y}{t_i} = \pmb{d}{t_i} + H \pmb{x}{t_i} +\pmb{w}{t_i}, \end{equation} $$ 即測量方程或觀測方程。這裡 $ \pmb{w}{t_i} $ 是一個 $ m $ 正常隨機變數的維向量。這 $ (m \times m) $ 共變異數矩陣 $ V $ 的 $ \pmb{w}_{t_i} $ 與模型參數一起確定為最大概似估計的一部分。