提前到期選項/反捲積
採用標準馬爾可夫設置（根據需要進行假設）
$$ dX_t = \mu(t,X_t)dt + \sigma(t,X_t) dW_t $$
假設，你可以得到分佈（即期權價格） $ t_1 $ （提前到期）和 $ t_2 $ . 我真正追求的是可以說的 $ X $ 在那個區間。我在想我們可以得到分佈 $ \log X_{t_2} = \log X_{t_1} + \log X_{t_2-t_1} $ 通過特徵函式的反捲積。
還有什麼我們可以說的，也許是關於條件分佈？這大概是一個基本的問題。如果有人能在這裡指出我正確的方法，將不勝感激。
我認為這是一個很好的問題。我已經考慮了一點，但到目前為止只能提供以下內容 - 也許它有助於討論。
我們稱第 1 期日誌返回 $ x_1 $ ，第 2 期對數回報 $ x_2 $ , 和聯合回報 $ y=x_1+x_2 $ .
如果我們假設獨立 $ x_1 $ 和 $ x_2 $ ，我們得到特徵函式 $ \phi(t) $
$$ \begin{align} \phi_y(t)&\equiv\mathrm{E}\left(e^{ity}\right)\ &=\mathrm{E}\left(e^{it\left(x_1+x_2\right)}\right)\ &=\mathrm{E}\left(e^{itx_1}\right)\mathrm{E}\left(e^{itx_2}\right) \&=\phi_{x_1}(t)\phi_{x_2}(t) \ \Rightarrow \quad\quad\quad \phi_{x_2}(t)&=\frac{\phi_y(t)}{\phi_{x_1}(t)}\ \Rightarrow \quad\quad\quad f(x_2)&=\frac{1}{2\pi}\int e^{-itx_2}\frac{\phi_y(t)}{\phi_{x_1}(t)}\mathrm{d}t
\end{align} $$這可以用數字來執行。為了 $ X_t $ 在具有可能與時間相關的參數的仿射跳躍擴散之後，可以以數值方式獲得特徵函式。
我不知道我們還能對條件分佈說些什麼 $ f(x_2|x_1) $ ， 儘管。