雙曲線貼現的資本回收係數

當使用雙曲線貼現時，我正在尋找一個封閉形式的資本回收因子。關於雙曲線貼現的維基百科文章有這個公式，用於“以雙曲線方式貼現的一系列相等的年度現金流量的現值”： $$ V = P \frac{\ln(1 + kd)}{k}\ , $$ 但不包括任何參考資料。

如果我嘗試對系列求和 $ \sum_{t=1}^n 1/(1 + rt) $ 然而，WolframAlpha 給了我一個涉及 digamma 函式的更複雜的公式。

如果存在此 CRF，我將不勝感激。推導將是一個獎勵。謝謝！

我將擴展我在評論中所說的作為答案。總和$$ \sum_{t=0}^n \frac{1}{1+rt} $$不會有一個很好的封閉形式。然而，維基百科所做的是將這個總和近似為一個積分。積分將是$$ \int_{t=0}^n \frac{dt}{1+rt}=\frac1r\ln(1+rt)|_0^n=\frac1r \ln(1+nr) $$這基本上是您在不乘以主值並重新標記一些變數的情況下所得到的。現在需要注意的是，這將偏離一個小常數。如果你看下圖，有一些錯誤區域積分未能拾取，所以它實際上會稍微小一些。 但是，在這種情況下，您知道錯誤區域低於 1（因為如果您想像將每個錯誤區域滑入第一個正方形（純水平方向它不會全部填滿）

和一半以上，（在每個誤差區域的角之間畫一條線組成一個三角形，每個三角形是對應矩形面積的一半，所以所有三角形的總和是單位正方形面積的一半）

因此，由於誤差在 1.5 之間，對於較大的 n，它應該是非常微不足道的，這是一個非常好的近似值。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/33616