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（子）鞅的經濟例子
（離散時間）鞅是一個隨機過程 $ {X_t}_{t\in\mathbb N} $ 滿足所有人 $ t\in\mathbb N $ ,
$$ E(|X_t|)<\infty $$ 和 $$ E(X_{t+1}|X_1,\dots,X_t）=X_t. $$ 亞鞅是一個 $ E(X_{t+1}|X_1,\dots,X_t）\ge X_t $ . 我知道賭徒在公平遊戲中得到回報的經典例子。但我希望找到其他真實世界的鞅和亞鞅的例子，尤其是那些與經濟學有關的例子。理想情況下，這些例子會有某種經驗支持。
將迭代期望定律應用於子鞅的定義屬性 $ E(X_{t+1}|X_1,\dots,X_t）\ge X_t $ 我們有
$$ E\Big[E(X_{t+1}|X_1,\dots,X_t)\Big]=E(X_{t+1}) \geq E(X_t) $$ 所以子鞅也有它的無條件期望值不減。因此，任何看起來價值持續增加的經濟變數都是亞鞅的候選者，因為這裡的定義屬性僅取決於變數的過去，而不取決於可能影響它的任何其他因素。國家產出/GDP 可以合理地建模為亞鞅，因為它在歷史上“總是”增加，除非發生災難性事件。
一般來說，任何可以建模為具有非負漂移的隨機遊走的經濟變數，
$$ X_{t+1} = \alpha + X_{t} + u_t,;; \alpha \geq 0 $$ 是一個亞鞅。