公平高效分配“家品”
考慮具有兩種商品的交換經濟，例如家用家具 (x) 和電氣設備 (y)。這些商品的有趣之處在於，當一個家庭擁有一個捆綁包時，該家庭的所有成員都享受同一個捆綁包（這就像“俱樂部商品”，但僅限於家庭）。
有兩個家庭。在每個家庭中，都有不同的成員對捆綁包有不同的偏好。假設所有偏好都是單調遞增且嚴格凸的。
分配是一對捆綁， $ (x_1,y_1) $ 對於家庭 1 和 $ (x_2,y_2) $ 為家庭 2。
如果滿足以下條件，則分配稱為無嫉妒：
- 家庭 1 的所有成員都認為 $ (x_1,y_1) $ 至少和 $ (x_2,y_2) $ ;
- 家庭 2 的所有成員都認為 $ (x_2,y_2) $ 至少和 $ (x_1,y_1) $ .
如果沒有其他捆綁分配給家庭，使得所有家庭的所有成員都弱偏愛，而一個家庭的至少一個成員嚴格偏愛，則分配稱為帕累託有效。
在什麼條件下存在帕累託有效的無嫉妒分配？
如果每個家庭只有一個成員，則存在帕累託有效的無嫉妒分配；這是一個著名的瓦里安定理。這個定理是否從個人推廣到家庭？
現在我不確定重新標記的等效性，因此不確定這個答案的有用性 - 請參閱下面的評論。
這是答案的開始，也是試圖證明必要假設必須有多強大才能保證存在的嘗試。
讓我們將問題轉化為等價但更易於處理的問題。不是對家庭進行索引，而是對代理（家庭成員）進行索引。這種重新標記的關鍵是理解家庭可以寫成約束：如果代理 $ i $ 和 $ j $ 屬於同一個家庭，那麼 $ x_i=x_j $ 和 $ y_i = y_j $ .
現在我們回到了標準環境中，有個體代理（不是家庭），但有這些家庭限制。回想一下您在問題中連結的瓦里安定理的證明。它利用來自平等收入的競爭均衡的存在。在這種情況下，我們需要存在一個來自平等收入的競爭均衡，在這種均衡中，家庭約束也得到了滿足。這將很難做到。例如，考慮 $ i $ 和 $ j $ 在一個家庭中，並且
$$ u_i=x_i + \varepsilon y_i :: \text{ and } :: u_j = \varepsilon x_j + y_j $$ 在哪裡 $ \varepsilon>0 $ 很小。這些偏好是單調的和凸的。基本上，一位家庭成員關心 $ x $ 和其他關心 $ y $ . 如果兩個代理中的每一個都在採購 $ x $ 和 $ y $ 為了最大化他或她的效用，你不會期望 $ x_i^* = x_j^* $ 或者 $ y_i^* = y_j^* $ 在競爭均衡中（見最後的附錄）。 這就是為什麼您當然需要對家庭內的偏好相似性進行一些假設（至少要使用 Varian 的證明版本）。我的感覺是，如果你給我任何家庭成員之間任意小的偏好差異，我可以圍繞它建構一個範例，其中不存在他們選擇相同分配的 CEEI。然後，至少，你不能使用瓦里安的證明。
兩個問題：
- 你同意我對問題的重新表述在形式上等同於你嗎？
- 你能想出比假設家庭內的偏好同質性更弱的假設嗎？我可以嘗試用一個反例來使之無效？
**附錄：**請記住，在競爭均衡中，每個代理人的邊際替代率 (MRS) 等於價格比率。在這裡，我的代理人有恆定的和不同的 MRS，因此不存在價格比率等於他們兩個 MRS 的競爭均衡。如果每個代理人都有一個不同的 MRS，那麼他們可能碰巧在均衡價格比率下是相等的。所以也許你可以擺脫一些家庭偏好的局部同質性的概念。但是你需要讓它們在競爭均衡時是局部同質的，這正是你試圖證明存在的東西，所以它會有點循環。
**重要提示：**如前所述，我假設證明存在的唯一方法是瓦里安如何通過 CEEI 做到這一點。可能有其他證明技術可以繞過這些問題，但我懷疑不是。
**超越 CEEI：**正如 OP 在評論中指出的那樣，像瓦里安那樣通過 CEEI 證明 PEEF 的存在有些限制。關於直接證明 PEEF 的存在，我沒有太多話要說，但以下內容很明顯：對於任何滿足您的帕累托效率條件的分配（暫時忽略無嫉妒），對於任何 $ i,j $ 這樣 $ x_i, x_j, y_i, y_j > 0 $ ,
$$ MRS_i = MRS_j $$ 如果這不是真的，就會出現帕累托改進。競爭均衡本質上通過價格比率使 MRS 相等，但您仍然需要使這些 MRS 相等才能找到帕累託有效分配。我認為家庭約束會使這變得非常困難——不難想出一個環境和家庭約束，使得不存在滿足這些約束的帕累託有效均衡。無論如何，這可能是朝著答案邁出的另一個部分步驟：忘記嫉妒自由。首先嘗試提出一個關於偏好（可能還有家庭約束）的假設，以保證滿足家庭約束的帕累託有效分配的存在。然後擔心嫉妒。
假設有兩個家庭：家庭 U 有 $ n_u $ 成員，而家庭 V 有 $ n_v $ 成員。成員的效用函式 $ i $ 家庭U是：
$$ \begin{eqnarray*} u_i(x_u, y_u) = a_ix_u + y_u \end{eqnarray*} $$ 哪裡都有 $ a_i $ s 對所有人都是積極的 $ i\in{1,2,\ldots, n_u} $ , 成員的效用函式 $ j $ 家庭V是：
$$ \begin{eqnarray*} v_j(x_v, y_v) = b_jx_v + y_v \end{eqnarray*} $$ 哪裡都有 $ b_j $ s 對所有人都是積極的 $ j\in{1,2,\ldots, n_v} $ . 另外，假設 $ \min_i a_i \geq \max_j b_j $ .
假設總禀賦向量為 $ X $ 和 $ Y $ 是 $ (\omega_X, \omega_Y) $ .
對於任何 $ \theta \in [\max_j b_j, \min_i a_i] $ ， 定義 $ m := \displaystyle\frac{\theta\omega_X}{2} + \frac{\omega_Y}{2} $ .
檢查是否 $ \displaystyle\frac{m}{\theta} \leq \omega_X $ ， 然後 $ \displaystyle (x_u, y_u) = \left(\frac{m}{\theta}, 0\right) $ 和 $ \displaystyle (x_v, y_v) = \left(\omega_X - \frac{m}{\theta}, \omega_Y\right) $ 是帕累託有效的嫉妒自由分配，另一方面，如果 $ \displaystyle\frac{m}{\theta} > \omega_X $ ， 然後 $ \displaystyle (x_u, y_u) = \left(\omega_X, m-\theta\omega_X\right) $ 和 $ \displaystyle (x_v, y_v) = \left(0, m\right) $ 是帕累託有效的羨慕免費分配。