效用函式存在的充分必要條件
我正在閱讀 Jehle 和 Reny，Advanced Microeconomic Theory，他們詳細討論了消費者的選擇問題。消費集（或選擇集） $ X $ 是的一個子集 $ R_+^n $ , 是閉凸的並且包含 $ 0\in R_+^n $ . 他們定義了一個偏好關係 $ \succeq $ 在 $ X $ 滿足完整性、傳遞性和連續性。然後他們認為這些條件對於表示偏好關係的連續實值效用函式的存在是足夠的 $ \succeq $ .
我想知道是否有更多關於效用函式（連續或不連續）的存在來表示理性偏好的結果。Jehle 和 Reny 中的定理對於選擇集不滿足假設條件或我們根本不關心效用函式的連續性的情況沒有什麼可說的。例如，如果 $ C= {a, b, c} $ 是選擇集，偏好排序很簡單 $ a, b, c $ （偏好關係被相應定義），那麼 $ u: C\rightarrow R $ , $ u(a)=10, u(b)=2.5, u(c)=\frac{\pi}{100} $ 是一個合法的效用函式，但 Jehle 和 Reny 中的定理並沒有說明這些情況。同樣，著名的詞典偏好（滿足理性但違反連續性）沒有效用函式，但 Jehle 和 Reny 的定理並沒有告訴我們任何關於它的資訊。我想知道效用函式存在的最一般的必要和充分條件，也包括這些和其他可能的情況。
正式地，讓 $ C $ 是所有可能的選擇的集合（到目前為止沒有假設任何條件），並且讓 $ \succeq $ 成為二元關係 $ C $ 滿足完整性和傳遞性。
有哪些充要條件 $ C $ 和 $ \succeq $ 必須滿足，所以效用函式來自 $ C $ 到 $ R $ 代表 $ \succeq $ 存在嗎？
我將不勝感激這方面的證明和/或參考資料，甚至部分解決方案。
以下是 Debreu 的根本原因。結果是用線性順序表示的，但是每個完全和傳遞關係都會在無差異類上產生一個線性順序：
**定理：**讓 $ S $ 是一個集合和 $ \preceq $ 是一個線性順序 $ S $ . 然後 $ \preceq $ 當且僅當存在可數集時才有效用表示 $ C\subseteq S $ 這樣每當 $ x\prec y $ , 那麼有一些 $ c\in C $ 這樣 $ x\preceq c\preceq y $ .
**證明：**要看到條件對於效用表示的存在是必要的，讓 $ u $ 是一個效用表示 $ \preceq $ . 稱呼 $ (x,y)\in S\times S $ 如果跳_ $ x\prec y $ 而且沒有 $ z $ 這樣 $ x\prec z\prec y $ . 我們證明了跳躍的集合是可數的。顯然，如果 $ (x,y) $ 和 $ (x’,y’) $ 都是跳躍，那麼 $ \big(u(x),u(y)\big) $ 和 $ \big(u(x’),u(y’)\big) $ 是實數的不相交區間。每個這樣的區間都包含一個有理數，因此從跳轉到有理數存在單射函式，因此跳轉集是可數的。讓 $ J $ 是所有元素的集合 $ S $ 作為跳躍的第一個或第二個座標出現。清楚地， $ J $ 也是可數的。讓$$ Q=\Big{(q_1,q_2)\in\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}:q_1<q_2, u^{-^1}\big((q_1,q_2)\big)\neq\emptyset\Big}. $$套裝 $ Q $ 是可數的。對於每個 $ (q_1,q_2)\in Q $ , 選擇一些 $ s\in u^{-^1}\big((q_1,q_2)\big) $ 然後讓 $ B $ 是這樣的集合 $ s $ . $ B $ 也是可數的，我們可以選擇 $ C=B\cup J $ .
現在我們證明這樣一個集合的存在 $ C $ 對於效用表示的存在是足夠的。不失一般性，我們可以取 $ C $ 非空並寫 $ C={c_0,c_1,\ldots} $ . 現在定義 $ u $ 經過$$ u(x)=\sum_{n:c_n\preceq x}\frac{1}{2^n}-\sum_{n:c_n\succeq x}\frac{1}{2^n}. $$ $ \square $
Douglas S. Bridges 和 Ghanshyam B. Mehta所著的Representations of Preferences Orderings一書是有關實用函式存在的所有事物的綜合來源。