計算移位 CDF 的期望
認為 $ X $ 是一個正態隨機變數，均值為 0，變異數 $ \sigma^2 $ . $ F(x) $ 是標準正態隨機變數（均值 0 和變數 1）的 CDF（累積分佈函式），如何計算 $ F(X+a) $ ， 在哪裡 $ a>0 $ .
這是一個量化面試問題。我知道如何計算 F(X) 的期望值，即何時 $ a=0 $ ，但我不知道什麼時候 $ a \neq 0 $ .
我的解決方案 $ a=0 $ :
方法 1：由於 F(x) 是均值為 0 且變異數為正態隨機變數的 CDF $ \sigma^2 $ . 我們將有 F(x)=1-F(-x)。假設f(x)是對應的pdf，並且f(x)=f(-x)。然後
$$ \begin{align} \mathbb{E}[F(X)]&=\int_{-\inf}^{+\inf} F(s)f(s)ds\ &=\int_{-\inf}^{+\inf} (1-F(-s))f(s)ds\ &=1-\int_{-\inf}^{+\inf} F(-s)f(s)ds\ &=1-\int_{-\inf}^{+\inf} F(m)f(m)dm \end{align} $$ 因此我們有 $$ \int_{-\inf}^{+\inf} F(s)f(s)ds=\frac{1}{2} $$ 方法2（這種方法似乎不需要X是正態隨機變數）：讓我們首先計算分佈 $ F(X) $ :
$$ \begin{align} \mathbb{P}{F(X) \leq y}&=\mathbb{P}{X \leq F^{-1}(y)}\ &=F\cdot F^{-1}(y)=y \end{align} $$ 所以 $ F(X) $ 是均勻分佈的，因此平均值是 $ \frac{1}{2} $ .
這導致與 Alexeys 回答相同的結果。然而，我的推理是不同的。
$$ E[F_X(X+a)]=\int_{-\infty}^{\infty} F_X(x+a) f_X(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{x+a}f_X(y)dy f_X(x)dx=\ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} 1_{(-\infty,x+a]}(y) f_X(y) f_X(x)dydx= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} 1_{_{{y-x\le a}}}(y) f_X(y) f_X(x)dydx. $$ 積分中兩個密度的乘積是二元高斯向量 (X,Y) 的密度，其分量獨立且服從正態分佈 $ N(\mu,\sigma^2) $ . 因此這個積分與
$$ E[1_{{Y-X\le a}}]=P[{Y-X\le a}], $$ 在哪裡 $ Y,X $ 是獨立同居 $ N(\mu,\sigma^2) $ . 因此 $ Y-X $ 有一個 $ N(0,2\sigma^2) $ 分配。我們得到
$$ E[F_X(X+a)]=F_{Y-X}(a)=\Phi\left(\frac{a}{\sqrt{2}\sigma}\right). $$