隨機過程能否既不適應過濾也不可見？

這個問題背後的想法源於我對“適應過濾”和“可預見性”概念的直覺。

如果一個過程被調整，它本質上意味著宇宙到時間 t 的演化也揭示了我們過程到時間 t的歷史。

另一方面，如果一個過程是可預見的，則意味著直到時間 t 的宇宙演化揭示了時間 t之後有關該過程的資訊。

如果我們按照這些術語進行思考，那麼很自然地會問我們是否可以建構過程，其中直到時間 t 的宇宙演化僅在 t 之前的時間（例如 t-1）揭示有關此類過程的資訊。

讓 $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $ 是一個帶有布朗運動的機率空間 $ (B_t) $ 我用它來表示其自然過濾 $ (\mathcal{F}_t) $ . 根據定義，對於每個 $ t\geq0 $ , $ B_t $ 是 $ \mathcal{F}_t $ - 可測量的，即 $ (B_t) $ 適應 $ (\mathcal{F}_t) $ .

據我了解，您想知道我們是否可以建構一個既不適應也不可預測（又名可預測）的過程？考慮三個過程

1. $ X_t = B_t $ ,
2. $ Y_t = B_{t-1} $ 和
3. $ Z_t = B_{t+1} $ .

然後， $ (X_t) $ 適應 $ (\mathcal{F}t) $ 根據定義。也是 $ (Y_t) $ 這也可以從包含的資訊中得知 $ \mathcal{F}t $ . 的確， $ (Y_t) $ 是可以預見的，因為每個 $ Y_t $ 是 $ \mathcal{F}{t-1} $ - 可測量的。過程 $ (Z_t) $ 然而，既不適應也不可見。關於宇宙演化的知識 $ t $ 僅透露有關資訊 $ Z{t-1} $ 但你不知道的價值 $ Z_t $ .

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/45261