Kaplan, Menzio (2014) 中的條件機率
這是關於 Kaplan 和 Menzio 的購物時間模型的問題。
第 7,8 頁：失業者搜尋一次或兩次（針對賣家）。
- $ \psi_u $ : 搜尋兩次的機率，用 prob 搜尋一次 $ 1-\psi_u $
- $ \nu $ 是找到賣家的機率。
- 搜尋是獨立的。一個搜尋兩次的失業者，因此有可能找到兩個賣家 $ \nu^2 $ .
現在問題來了，在第 10 頁，他們從賣家的角度來看問題。賣方與買方匹配的條件，買方與另一個賣方匹配的機率是多少？
$$ Prob(\text{being matched second seller} | \text{being matched with first seller}) = \frac{Prob(\text{being matched with first and second seller})}{Prob(\text{being matched with first seller})} \ = \frac{\text{search twice and find both times}}{\text{search once and find a seller or search twice and find one or two sellers }} \ = \frac{\psi_u\nu^2}{((1-\psi_u) * \nu) + (\psi_u)*(\nu + \nu)}\ = \frac{\psi_u\nu}{1+\psi_u}\ $$ 然而，他們得到的是
$$ \frac{2\psi_u\nu}{1+\psi_u} $$ 他們在第 8 頁計算了一些“中間機率”，但我看不出它們如何幫助獲得結果。如何得到他們的結果？
第一個/第二個賣家術語在這裡可能會令人困惑（它與時間或條件有關嗎？）。專注於特定賣家更安全。
假設買方找到特定賣方的機率， $ s $ , 通過單次搜尋 $ \nu_s $ . 買家匹配的機率 $ s $ 並且（在之前或之後）另一個賣家是（假設 $ \nu_s $ 很小，所以找到的機率 $ s $ 最多 2 次搜尋中的兩次可以忽略）：
$$ \psi_u(\nu_s\nu+\nu\nu_s)= 2\psi_u\nu_s\nu $$ 買家匹配的機率 $ s $ 通過單次搜尋或雙重搜尋是（再次忽略給定雙重搜尋的機率） $ s $ 兩次）：
$$ (1-\psi_u)\nu_s + \psi_u(\nu_s + \nu_s)=\nu_s(1+\psi_u) $$ 買家匹配的條件機率 $ s $ 和另一個賣家，條件是 $ s $ 因此，與該買方匹配的是：
$$ \frac{2\psi_u\nu_s\nu}{\nu_s(1+\psi_u)}=\frac{2\psi_u\nu}{1+\psi_u} $$ 但後一個公式不依賴於 $ \nu_s $ . 因此，相同的公式適用於任何賣家。