∂∂一個和[一個+X−−−−−√]∂∂一個和[一個+X]frac{partial}{partial a} E [sqrt{a+X} ],X>0X>0X > 0作為，a≥0一個≥0a geq 0
雖然也許這可以在交叉驗證上發布，但我實際上有一個財務應用程序。
問題：
某處有一個非常基本的錯誤，但我看不到：
讓 $ X $ 是一個隨機變數 $ X > 0 $ 幾乎可以肯定。讓 $ a $ 是一個非負實數。表示為 $ p(x) $ 的機率密度 $ X $ . 然後， $$ E [\sqrt{a + X} ;] = \int_0^\infty \sqrt{a+x}; p(x) dx $$ 和 $$ \frac{\partial}{\partial a} E [\sqrt{a+X}; ] = \frac{1}{2}\int_0^\infty \frac{1}{\sqrt{a+x}}; p(x) dx > 0 $$
另一方面，我們也可以考慮機率密度 $ q(\sqrt{a+x}) $ 隨機變數 $ \sqrt{a+X} $ 直接，並且由於 $ \sqrt{a+X} > \sqrt{a} $ 幾乎可以肯定， $$ E [\sqrt{a + X} ;] = \int_\sqrt{a}^\infty \sqrt{a+x}; q(\sqrt{a+x}) d\sqrt{a+x} $$ 現在， $$ d\sqrt{a+x} = \frac{1}{2} \frac{dx}{\sqrt{a+x}} $$ 因此 $$ E [\sqrt{a + X} ;] = \frac{1}{2} \int_0^\infty q(\sqrt{a+x}) dx $$ 將上面的表達式微分為 $ a $ : $$ \begin{align} \frac{\partial}{\partial a} E [\sqrt{a + X} ;] &= \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{1}{2\sqrt{a+x}} \frac{\partial q(\sqrt{a+x})}{\partial \sqrt{a+x}} dx\ &= \frac{1}{2} \int_\sqrt{a}^\infty \frac{\partial q(\sqrt{a+x})}{\partial \sqrt{a+x}} d\sqrt{a+x} \ &= - \frac{1}{2} q(\sqrt{a}) \end{align} $$
因為 1. 符號是錯誤的，並且 2. $ q(\sqrt{a}) = 0 $ ，這（兩次）與之前得出的結論相矛盾，即， $$ \frac{\partial}{\partial a} E [\sqrt{a+X}; ] = \frac{1}{2}\int_0^\infty \frac{1}{\sqrt{a+x}}; p(x) dx > 0 $$
那麼我哪裡做錯了？
謝謝。
我不確定你的 $ q $ 是（它似乎沒有很好的定義）。為了清楚起見，讓 $$ Y = \sqrt{a+X} > \sqrt a ; ; a.s. $$
對於 cdf，我們有： $$ F_Y(y) = P(Y\leq y) = P(\sqrt{a+X}\leq y) = P(X\leq y^2-a)=F_X(y^2-a) $$
通過取導數，我們得到 pdf 之間的以下關係：
$$ p_Y(y) = 2y p_X(y^2-a) $$
所以：
$$ E[Y] = \int_{\sqrt{a}}^\infty y p_Y(y) dy =\int_{\sqrt{a}}^\infty 2y^2 p_X(y^2-a) dy $$ $$ = \int_{{0}}^\infty \sqrt{a+x}p_X(x) dx = E[\sqrt{a+X}] $$
（經過變數變換 $ x=y^2-a $ 在第三個等式中）。
然後我們可能想把導數 wrt 到 $ a $ 的： $$ E[Y] = \int_{\sqrt{a}}^\infty y p_Y(y) dy = \int_{{0}}^\infty 2^{-1}p_Y(\sqrt{z+a}) dz $$
（改造後 $ y=\sqrt{z+a} $ )，這將我們帶回到第 1 格（給定 pdf 關係）。