如何計算幾何布朗過程的條件機率？

有點尷尬的是，我被一些非常基本的東西困住了。

我想找到股票變動的條件機率（GBM）：

$$ \mathbb{P} \big( S_t \geq b \vert S_s \leq b) $$ 為了 $ t > s $ . 我的主要問題是確定什麼 $ \mathbb P(S_t \geq b, S_s \leq b\big) $ 等於。

通過一定的代數操作，你需要的是機率 $ P(W_t \ge a, W_s \le c) $ ，可以計算如下：

$$ \begin{align*} P(W_t \ge a, W_s \le c) &= P(W_t-W_s \ge a-W_s, W_s \le c)\ &=E\big(E\left(1_{W_t-W_s \ge a-W_s} 1_{W_s \le c} \mid W_s \right)\big)\ &=E\big(1_{W_s \le c}E\left(1_{W_t-W_s \ge a-W_s} \mid W_s \right)\big)\ &=E\Big(1_{W_s \le c}\Big[1-\Phi\Big(\frac{a-W_s}{\sqrt{t-s}}\Big)\Big]\Big)\ &=\Phi\Big(\frac{c}{\sqrt{s}} \Big)-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\frac{a}{\sqrt{s}}}\Phi\Big(\frac{a-\sqrt{s}x}{\sqrt{t-s}} \Big)e^{-\frac{x^2}{2}} dx, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \Phi $ 是標準正態隨機變數的累積分佈函式。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/31199