證明矩生成函式的導數性質
在 Shreve II 的練習 1.8 中，他引導讀者證明矩生成函式 $\phi$ 的導數等於期望 $\mathrm{E}[Xe^{tX}]$；即，$$ \phi^\prime(t) = \mathrm{E}[Xe^{tX}]。$$ 他首先假設 $X$ 是非負的，並要求讀者使用支配收斂定理和中值定理，然後要求讀者通過考慮正負部分來證明它是可積的 $X$。
我的問題是，這個練習是否需要所有這些機器？假設 $X$ 有一個密度函式 $f$，我將通過 $$ \phi^\prime(t) = \frac{d}{dt}\int_{0}^\infty e^{tx} 來證明這個結果f(x) dx = \int_{0}^\infty \frac{d}{dt}e^{tx}f(x) dx = \int_{0}^\infty xe^{tx}f(x) dx = \mathrm{E}[Xe^{tX}], $$ 我想我必須證明在積分內移動導數是合理的（$e^{tx}$ 在 $t$ 中是連續的就足夠了嗎？ )
那麼，如果 $X$ 沒有密度，這個在 Shreve 中更嚴格的證明是否只是為了證明它成立？或者也許只是為了練習使用主導收斂定理？我希望作者能說明他們練習背後的精神……
正如 Sherev 所說，首先讓 $\varphi(t)=E\left[e^{tX}\right]$ 然後 $$\varphi ‘(t)=\underset{s\to t}{\mathop{\ lim }},\frac{\varphi (t)-\varphi (s)}{ts}=\underset{s\to t}{\mathop{\lim }},\frac{E[{{e }^{tX}}]-E[{{e}^{sX}}]}{ts}=\underset{s\to t}{\mathop{\lim }},E\left[ \frac{ {{e}^{tX}}-{{e}^{sX}}}{ts} \right]$$ Sherev 繼續，我們可以選擇一個數字序列 ${s_n}_{n=1} ^{\infty}$ 收斂到 $t$ 併計算 $$\underset{s_n\to t}{\mathop{\lim }},E\left[ \frac{{{e}^{tX}} -{{e}^{s_nX}}}{t-s_n} \right]$$ 現在我們對隨機變數序列的期望進行了限制。$$Y_n=\frac{{{e}^{tX}}-{{e}^{s_nX}}}{t-s_n}$$ 他修正了 $\omega\in \Omega$ 並通過應用平均值定理總結 $$e^{tX(\omega)}-e^{s_nX(\omega)}=(t-s_n)X(\omega)e^{\theta(\omega )X(\omega)}$ $ 其中 $\theta(\omega)$ 是一個取決於 $\omega$ 的數字，使得 $s_n\leq\theta(\omega)\leq t$。
$$|Y_n|=\left|\frac{e^{tX(\omega)}-e^{s_nX(\omega)}}{t-s_n}\right|\leq X(\omega) e^{ \theta(\omega )X(\omega)}\leq X(\omega) e^{2t,X(\omega)}$$ 所以根據支配收斂定理我們有 $$\varphi’(t)= \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }},E[{{Y}{n}}]=E[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim } },{{Y}{n}}]=E[X{{e}^{tX}}]$$
需要整個機器來交換積分符號和導數。