證明[E(g(X))=∫Rg(x)f(x)dxMath Processing Error]Emathbb{E}(g(X)) = int_{mathbb{R}} g(x) f(x) dx
讓[Math Processing Error] $ X $ 是機率空間上的隨機變數[Math Processing Error] $ (\Omega, \mathcal{F}, P) $ 然後讓[Math Processing Error] $ g $ 是一個 Borel 可測函式[Math Processing Error] $ \mathbb{R} $ . 在 Shreve II (p 28) 中，他使用標準機器證明了
[Math Processing Error]$$ \mathbb{E}(g(X)) = \int_{\mathbb{R}} g(x), d(P \circ X^{-1})(x), $$ 在哪裡 $ P \circ X^{-1} $ 是前推措施[Math Processing Error] $ \mathbb{R} $ . 然後他再次使用標準機器來證明，對於一個連續隨機變數 $ X $ ， 那 [Math Processing Error]$$ \mathbb{E}(g(X)) = \int_{\mathbb{R}} g(x) f(x) d\lambda(x), $$ 在哪裡[Math Processing Error] $ f $ 是機率密度函式[Math Processing Error] $ X $ 和[Math Processing Error] $ \lambda $ 是 Lebesgue 測度[Math Processing Error] $ \mathbb{R} $ . 我的問題是，第二部分真的需要標準機器嗎？根據連續隨機變數的定義， $ f = \frac{d(P \circ X^{-1})}{d \lambda} $ ， 所以
[Math Processing Error]$$ \int_{\mathbb{R}} g(x), d(P \circ X^{-1})(x) = \int_{\mathbb{R}} g(x)f(x) d\lambda(x) $$ 自從[Math Processing Error] $ f $ 是 Radon-Nikodym 的導數 $ P \circ X^{-1} $ 寫[Math Processing Error] $ \lambda $ . 也許我忽略了一些可積性條件？
由於 Radon-Nykodim 導數是針對同一可測量空間上的測量定義的，而機率[Math Processing Error] $ P $ 在機率空間上定義[Math Processing Error] $ \Omega $ ，標準機必須具備這兩個措施 $ \lambda $ 和 $ P \circ X^{-1} $ 兩者都定義在[Math Processing Error] $ \mathbb{R} $ . 那是，
[Math Processing Error]$$ \begin{align*} \mathbb E(g(X)) &=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{i=1}^{2^n}\Big(\frac{i-1}{2^n}+m\Big)P\Big(\frac{i-1}{2^n}+m \leq g(X) < \frac{i}{2^n}+m\Big)\ &=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{i=1}^{2^n}\Big(\frac{i-1}{2^n}+m\Big)P \circ X^{-1}\bigg(g^{-1}\Big[\frac{i-1}{2^n}+m, \ \frac{i}{2^n}+m\Big)\bigg)\ &=\int_{\mathbb{R}} g(x), d(P \circ X^{-1})(x)\ &= \int_{\mathbb{R}} g(x) f(x) d\lambda(x), \end{align*} $$ 在哪裡 $ f = \frac{d(P \circ X^{-1})}{d \lambda} $ 是 Radon Nykodim 導數。