機率質量函式的縮放

給定一個直方圖和每個觀測值的機率質量函式值，當在同一個圖上繪製直方圖和曲線（這是鍾形曲線，因為假設數據是正常的）時，兩者的縮放比例不同。如何實際縮放機率質量/密度函式，使其與直方圖“等效”？

這很簡單。讓我們假設 $ F_X(x) $ 是累積密度函式，使得

$$ F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(x) dx \quad \cdots \cdots (1) $$ 在哪裡 $ f_X(x) $ 是密度函式。兩邊微分（忽略下標X），我們得到 $$ \frac{d}{dx}, F(x) = f(x) $$ 可以寫成； $$ dF(x)=f(x) ,d(x) $$ $$ F(x+h) - F(x) = f(x)dx $$ 所以，更準確地說，你的密度 $ f(x) $ 是： $$ f(x) = \frac{F(x+h)-F(x)}{dx}\quad \cdots \cdots (2) $$ 現在，您可以使用身份 2 將直方圖縮放為密度。但是您的準確程度取決於班級間隔的寬度。要將直方圖縮放為密度：

1. 通過將觀察總數除以將每個類的頻率轉換為機率{確保您的類間隔足夠小}。這代表你的 $ dF(x) $ .
2. 現在，把你的機率從 $ dx $ 是班級間隔的大小，你會得到 $ f(x) $ .

您可以反轉該過程以從密度中獲取頻率，反之亦然。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/22881