預期短缺的可加性
我能夠看到為什麼預期短缺對於正態分佈或均勻分佈是次加性的。我試圖證明任何通用分佈的結果。我在網際網路上找到了許多可用的證明，但所有這些證明所涉及的數學都太複雜了。是否有任何簡單的解釋為什麼 ES 對於任何通用分佈都是次加法的？
預期缺口定義為
$$ \begin{align*} ES_{\alpha} = \frac{1}{1-\alpha}\int_{\alpha}^1 VaR_{p}(L) dp, \end{align*} $$ 在哪裡 $ L $ 是損失函式。對於有 500 個場景的案例， $ \alpha=99,% $ 百分位 VaR 大約是 $ 5^{\rm th} $ 最壞的損失情況。然後，可以通過 5 次最嚴重損失的平均值來近似預期的短缺，時間 $ -1 $ （我們採取 $ ES_{\alpha} $ 是積極的）。那是， $$ \begin{align*} ES_{\alpha}(L) = -\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5 L(i), \end{align*} $$ 在哪裡 $ L(i) $ 是個 $ i^{\rm th} $ 最壞的損失情況。假設損失 $ L $ 可以分解成損失 $ L_1 $ 和 $ L_2 $ 來自兩個子投資組合。那是$$ L=L_1+L_2. $$然後 $$ L(i) = L_1(i)+L_2(i). $$然而，很容易看出，雖然 $ L(1), \ldots, L(5) $ 是 5 種最壞的損失情況 $ L $ , $ L_j(1), \ldots, L_j(5) $ ， 為了 $ j=1, 2 $ ，不一定是 5 個最壞的損失情況 $ L_j $ . 換句話說，對於 $ j=1, 2 $ , $$ \begin{align*} ES_{\alpha}(L_j) \ge -\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5 L_j(i). \end{align*} $$ 然後 $$ \begin{align*} ES_{\alpha}(L) &= -\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5 L(i)\ &=-\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5 L_1(i)-\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5 L_2(i)\ &\le ES_{\alpha}(L_1) + ES_{\alpha}(L_2). \end{align*} $$