Girsanov 定理和機率測度
Cameron-Martin-Girsanov 定理以一種簡單的方式指出：
機率測度 $ \mathbb{P} $ 由維納過程誘導 $ W(t) $ . 存在另一個程序 $ X(t) $ 在相同的度量下，定義為 $ W(t)-rt $ . 然後，使用 Radon-Nikodym 導數 $ \frac{\mathrm{d}\mathbb{P_2}}{\mathrm{d}\mathbb{P}}=\exp(\int_0^t rdW_h -\frac{1}{2}\int_0^tr^2 dh) $ , 存在等價的測度 $ \mathbb{P_2} $ 在這之下 $ X(t) $ 是一個無漂移的維納過程，並且 $ W(t) $ 是一個有漂移的維納過程。
我的理解是機率測度 $ \mathbb{P} $ 通過密度****定義（誘導） $ W(t) $ .
即我們可以寫 $ \mathbb{P}(A):=\int^{a}{-\infty}f{W_t}(h)dh $ 對於任何事件 $ A:W(t)\leq a $ .
討論與相關的機率事件是否有意義 $ X(t) $ 在下面 $ \mathbb{P} $ ? 當然，對於任何事件 $ B:X(t)\leq b $ ，我們可以寫：
$ \mathbb{P}(B):=\mathbb{P}(X(t)\leq b)=\mathbb{P}(W(t)-r\leq b)=\mathbb{P}(W(t)\leq b+r)=\int^{b-r}{-\infty}f{W_t}(h)dh $ .
換句話說，我們可以討論與 $ X(t) $ 在下面 $ \mathbb{P} $ 只要我們停留在機率測度的框架內 $ \mathbb{P} $ 並根據密度寫出機率 $ W(t) $ .
我們一寫 $ \mathbb{P}(B):=\mathbb{P}(X(t)\leq b)=\int^{b}{-\infty}f{X_t}(h)dh $ ，我們不是在技術上引入了一種新的機率測度，它是由 $ X(t) $ 本身？
一定， $ X(t) $ 可以誘導自己的措施 $ \mathbb{P_3} $ ，通過上面提到的它自己的密度。Radon-Nikodym 導數來自 $ \mathbb{P} $ 至 $ \mathbb{P_3} $ 簡直就是 $ \frac{\mathrm{d}\mathbb{P_3}}{\mathrm{d}\mathbb{P}}=\exp(-\int_0^t rdW_h -\frac{1}{2}\int_0^tr^2 dh) $ . （然後我們會說，在 $ \mathbb{P_3} $ , $ W(t) $ 有漂移 $ -rt $ 同時下 $ \mathbb{P} $ 這是一個無漂移的韋納過程。有效 $ W(t) $ 在下面 $ \mathbb{P_3} $ 有密度 $ X(t) $ ).
那麼我的問題如下：將 CMG 定理表述為：
(1) 如果 $ \mathbb{P} $ 由無漂移維納過程引起 $ W(t) $ ，那麼存在另一個度量（我們稱之為 $ \mathbb{Q} $ 為了與上述討論沒有歧義），根據 $ W(t) $ 有漂移 $ -rt $ 和 $ \mathbb{Q} $ 通過定義 $ \frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\mathrm{d}\mathbb{P}}=\exp(-\int_0^t rdW_h -\frac{1}{2}\int_0^tr^2 dh) $
或者：
(2) 如果 $ \mathbb{P} $ 由帶有漂移的 Wiener 過程引起： $ X(t)=W(t)-rt $ , 那麼存在 $ \mathbb{Q} $ 在這之下 $ X(t) $ 是標準（無漂移）維納過程，並且 $ \mathbb{Q} $ 通過定義 $ \frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\mathrm{d}\mathbb{P}}=\exp(rX(t) -\frac{1}{2}tr^2) $ .
我這樣說沒有意義 $ \mathbb{P} $ 有一個維納過程和另一個維納過程，它有一個漂移（因此具有不同的機率密度），然後應用一個 Radon-Nikodym 導數來修改這兩個過程的兩個密度（因為每個密度定義了它自己的相關機率測量 -不？）。我相信 Radon-Nikodym 導數是特定於過程的：我們將其定義為特定過程的函式，然後 Radon-Nikodym 導數為該特定過程定義了一個新的機率度量。總而言之，我發現以陳述方式陳述 CMG 定理是不正確的。
現在已經在這裡回答了這個問題：https ://math.stackexchange.com/questions/3514491/girsanov-theorem-and-different-probability-measures
事實證明，如果想要深入了解它，就需要更正式的機率度量定義……