對等價關係的懷疑
在課堂上，我記錄了定義為的等價關係：
給定一個通用關係 $ R $ 在 $ X $ , $ xIy $ 如果兩者 $ xRy $ 和 $ yRx $
現在，我真的不明白以下命題：
如果 $ R $ （原關係）是自反和傳遞的，那麼 $ I $ （派生關係）是自反的、對稱的和傳遞的。
我明白這是一個例子 $ \succsim $ 派生關係在哪裡 $ \sim $ 和 $ \succ $ , 但該命題僅適用於前者（嚴格偏好顯然不是對稱的）。為什麼呢？
還有，我怎麼證明 $ R $ 具有這兩個屬性導致 $ I $ 具有相同的兩個屬性+對稱性？
我相信你的問題是：
**Q1。**為什麼是 $ \succ $ 不對稱？
Q2。 為什麼是 $ \sim $ **(a)對稱的；(b)反身的；(c)**及物的？
答案：
A1。認為 $ x \succ y $ . 然後通過定義 4（請參閱下面的基本設置和定義）， $ x \succsim y $ 和 $ y \not\succsim x $ . 因此，根據相同的定義， $ y \not\succ x $ . 因此， $ \succ $ 不是對稱的。
**A2。**讓 $ x,y,z\in X $ .
A2(a) $ \hspace{10pt} $ $ x\sim y $ $ \hspace{10pt} $ $ \iff $ $ \hspace{10pt} $ $ x\succsim y $ 和 $ y\succsim x $ （定義 3） $ \hspace{10pt} $ $ \iff $ $ \hspace{10pt} $ $ y\sim x $ .
A2(b)根據定義 2， $ x \succsim x $ . 因此，根據定義 3， $ x \sim x $ .
**A2(c)**假設 $ x\sim y $ 和 $ y\sim z $ . （我們將證明 $ x\sim z $ .)
根據定義 2，我們有 $ x\succsim y $ 和 $ y\succsim z $ . 現在通過傳遞性 $ \succsim $ ， 我們有 $ x\overset{1}{\succsim} z $ .
同樣，我們也有 $ y\succsim x $ 和 $ z\succsim y $ . 再次通過傳遞性 $ \succsim $ ， 我們有 $ z\overset{2}{\succsim} x $ .
給定 $ \overset{1}{\succsim} $ 和 $ \overset{2}{\succsim} $ , 根據定義 3 , 我們有 $ x\sim z $ .
基本設置和定義。
**定義 1.**一個（二元）關係 $ R $ （在一組 $ X $ ） 是：
- 對所有人來說都是對稱的 $ x,y\in X $ , $ xRy \iff yRx $ ;
- 反身if for all $ x\in X $ , $ xRx $ ;
- 傳遞if for all $ x,y,z\in X $ , $ xRy $ 和 $ yRz $ 暗示 $ xRz $ .
讓 $ X $ 成為我們的替代方案。
**定義 2.**讓 $ \succsim $ 是自反和傳遞關係 $ X $ .
我們解讀 $ \succsim $ 作為弱優先關係。
定義 3。 $ x \sim y $ 如果 $ x \succsim y $ 和 $ y \succsim x $ .
我們解讀 $ \sim $ 作為無差異關係。
定義 4。 $ x \succ y $ 如果 $ x \succsim y $ 和 $ y \not\succsim x $ .
我們解讀 $ \succ $ 作為嚴格的首選關係。