如何使用日內數據對每日收益進行建模？
說，我有每小時回報 $ r_1,r_2,…,r_T $ ， 在哪裡 $ r_t $ = $ ln(p_t) $ - $ ln(p_0) $ 為了 $ t = 1…T $ . 那麼什麼是價值 $ E[r_t] $ ? 將 $ r_T $ 成為 $ \prod{(r_t)} $ ?
基本上 $ r_t $ s 是返回到一個固定點 $ t_0 $ . 那麼我的問題是如何在數學上證明 $ E[r_t] $ 是 $ r_T $ 或者不是？
看來您真正的問題是：PFP（價格形成過程）是否從盤中到每週採樣率擴散？
這是一個非常好的問題，因為在盤中，一些學者在盤中收益中發現了一些多重分形特徵，這意味著 PFP 不是小規模的幾何布朗運動（即使考慮到隨機波動性）。
例如，您使用品脫過程對 PFP 進行了成功建模，尤其是 Hawkes 模型（不是擴散的，甚至不是馬爾可夫）：用相互激發的點過程對微觀結構雜訊進行建模：E. Bacry、S. Delattre、M. Hoffmann， JF Muzy（即將在 Quant. Finance 中發表）。他們獲得了一些公式來表達此類過程相對於潛在霍克斯過程的擴散極限的特徵，例如大規模擴散波動：
$$ \sigma=\frac{2\mu}{1-||\phi||_1},\frac{1}{(1+||\phi||_1)^2} $$ （和 $ \phi $ 霍克斯過程的核心將其隨機強度與其實現和 $ \mu $ 是其強度的確定性部分）。 還有更多“經典”的多重分形方法：金融時間序列的波動建模：從級聯過程到隨機波動模型，作者：JF Muzy、J. Delour、E. Bacry in Euro。物理。期刊 B，卷。17 (2000)，第 537-548 頁。在這種情況下，經典的“赫斯特指數”允許放大或縮小。
這不是一個簡單的數學規則嗎？
$$ \Delta r_{t}=r_{t} - r_{t-1} = ln(p_{t}) - ln(p_{0}) - ln(p_{t-1}) + ln(p_{0})=ln(\frac{p_{t}}{p_{t-1}}) $$ 即對數或連續複利。因此： $$ E(\Delta r_{t})=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\Delta r_{t} = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}ln(\frac{p_{t}}{p_{t-1}})=\frac{1}{T}ln(\prod_{t=1}^{T}\frac{p_{t}}{p_{t-1}})=\frac{1}{T}ln(\frac{p_{T}}{p_{0}})=\frac{1}{T}r_{T} $$ 是每小時的期望。
或者
$$ \frac{p_{T}}{p_{0}}\frac{p_{T-1}}{p_{0}}…\frac{p_{2}}{p_{0}}\frac{p_{1}}{p_{0}}=(\frac{p_{T}}{p_{0}})(\frac{p_{T-1}}{p_{0}}…\frac{p_{2}}{p_{0}}\frac{p_{1}}{p_{0}}) $$ 和 $$ ln[\frac{p_{T}}{p_{0}}\frac{p_{T-1}}{p_{0}}…\frac{p_{2}}{p_{0}}\frac{p_{1}}{p_{0}}]= ln(\frac{p_{T}}{p_{0}}) + ln[\frac{p_{T-1}}{p_{0}}…\frac{p_{2}}{p_{0}}\frac{p_{1}}{p_{0}}] $$ 或者 $$ ln[\frac{p_{T}}{p_{0}}\frac{p_{T-1}}{p_{0}}…\frac{p_{2}}{p_{0}}\frac{p_{1}}{p_{0}}] - ln[\frac{p_{T-1}}{p_{0}}…\frac{p_{2}}{p_{0}}\frac{p_{1}}{p_{0}}]= ln(\frac{p_{T}}{p_{0}}) $$ 如果我們假設收斂 $$ T\cdot E(r_{t}) - (T-1)\cdot E(r_{t})\approx r_{T} $$