算術平均值與幾何平均值以及簡單價格與對數價格之間的關係是什麼？

我知道使用幾何平均值是為了使不同時間的回報率具有可比性。同樣，我知道對數價格使百分比回報具有可比性，例如在繪製價格圖表時。

這種關係的數學基礎是什麼？換句話說，log 以何種方式返回“對應”幾何均值，以及簡單返回“對應”算術均值的方式是什麼？

如果您想查看以下內容（價格 $ S_t $ , 日誌返回 $ r $ , 簡單返回 $ R $ ） 然後

$$ r = \log(S_{t+1}) - \log(S_t) = \log(S_{t+1}/S_{t}), $$ 和 $$ R = S_{t+1}/S_{t}-1, $$ 因此 $$ R = \exp(r)-1 $$ 和$$ r = \log(1+R). $$這是問題嗎？

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/17182