作為回歸的 CAPM 模型
CAPM 模型指出股票的回報是-
$ r_s=r_f+\beta (r_m-r_f)+\varepsilon_s $
這 $ \beta $ 上面定義的然後計算為 $ \frac{cov(r_s,r_m)}{var(r_m)} $ . 我的問題是關於這個公式。如果截距未設置為 0，則這是回歸係數，這在 CAPM 中不是這種情況，因為截距設置為常數 $ r_f $ , 這本質上是回歸的 $ r_s-r_f $ 反對 $ r_m-r_f $ 同時將截距設置為0。那應該會產生 $ \beta=\frac{E[(r_s-r_f)(r_m-r_f)]}{E[(r_m-r_f)^{2}]} $ ，不等於規範形式。
請讓我知道這裡有什麼問題。
如果你真的相信 CAPM 的預測 $ \alpha=0 $ ，然後強加 $ \alpha=0 $ 在您的估計中確實會導致您的第二個公式。
問題？
- CAPM 不起作用，因此在估計期間施加錯誤的限制是有問題的。
- 更一般地說，非常重視因子模型並施加影響 $ \alpha=0 $ 在估計中以提高效率會失去一些穩健性，因為幾乎可以肯定因子模型至少在某種程度上被錯誤指定。
經驗研究人員通常不會在估計期間將常數限制為零。
模型 1（無常數）：
假設我們有以下回歸模型（沒有常數）：
$$ r_{st} - r_{ft} = \beta_1 \left( r_{mt} - r_{ft} \right) + \epsilon_t $$ 假設正交性條件 $ \operatorname{E}\left[\epsilon_t \left( r_{mt} - r_{ft}\right)\right] = 0 $ ， 然後 $ \beta_1 $ 將由：
$$ \beta_1 = \frac{\operatorname{E}\left[\left( r_{st} - r_{ft} \right)\left(r_{mt} - r_{ft} \right) \right] }{\operatorname{E}\left[\left(r_{mt} - r_{ft}\right)^2\right]} $$ 如果您真的認真對待 CAPM 理論，那麼施加限制是有原則的 $ \alpha= 0 $ 估計（這就是我們上面所做的）。引用 Cochrane (2004) 關於具有正態分佈誤差的更一般的因子模型，“最大概似估計 $ \beta $ 是沒有常數的 OLS 回歸。”正如 Cochrane 所描述的，研究人員通常不會在沒有常數的情況下進行估計，因為它會犧牲一些穩健性。
模型 2（添加一個常數）：
$$ r_{st} - r_{ft} = \alpha_2 + \beta_2 \left( r_{mt} - r_{ft} \right) + \epsilon_t $$ 現在有了 $ \alpha_2 $ 那裡並假設正交性條件 $ \operatorname{E}[\epsilon_t] = 0 $ 和 $ \operatorname{E}\left[\epsilon_t \left( r_{mt} - r_{ft}\right)\right] = 0 $ ， 你得到：
$$ \beta_2 = \frac{\operatorname{Cov}\left( r_{st} - r_{ft} , r_{mt} - r_{ft} \right) }{\operatorname{Var}\left( r_{mt} - r_{ft} \right)} $$ 模型 1 是模型 2 的一個特例，其中 $ \alpha $ 限制為 0。
模型 3（如果無風險利率不是隨機的）：
如果無風險利率不是隨機的，那麼它就會退出：
$$ \beta_3 = \frac{\operatorname{Cov}\left( r_{st}, r_{mt} \right) }{\operatorname{Var}\left( r_{mt} \right)} $$ 在像現在這樣無風險利率始終約為 0 的時期，也許這種虛假的假設是無害的。我認為它是手工波浪的，介紹 MBA 類型的東西。
對 CAPM 的評論
請注意，CAPM 是一種殭屍理論：很久以前，由於它不起作用，CAPM 在學術界被槍殺，CAPM 繼續潛伏在地球上。引用 Fama 和 French (2004)，“……該模型的經驗記錄很差——差到足以使它在應用程序中的使用方式無效。”
參考
科克倫，約翰。2005.資產定價，p。273
Fama, Eugene, F. 和 Kenneth R. French。2005.“資本資產定價模型：理論與證據”。經濟展望雜誌，18 (3): 25-46。