Beta的定義
Beta的定義
一般認為，資產的貝塔 $ i $ 由市場資產收益的線性回歸係數給出 ( $ m $ ) 返回，即 $$ \beta_i = \frac{\rho\sigma_i\sigma_m }{\sigma_m^2}=\frac {\rho \sigma_i}{\sigma_m} $$ 在哪裡 $ \sigma $ 表示回報的標準差。這是基於線性模型，其中 $$ r_i=\alpha_i+\beta_i \ r_m $$ 重新排列時給出 $$ \beta_i=\frac {r_i-\alpha_i}{r_m}\tag{1} $$
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在 CAPM 中使用
然後這個 beta 被用在著名的 CAPM 公式中，用於預期收益或權益成本，即 $$ r_i=r_f+\beta_i(r_m-r_f) $$ ( $ r_f $ 是無風險利率），當重新排列時給出 $$ \beta_i=\frac {r_i-r_f}{r_m-r_f}\tag{2} $$
問題
我們怎樣才能和解 $ (1) $ 和 $ (2) $ ?
我有點不同意亞歷克斯的評論。CAPM 不讀作 $$ \begin{align*} r_{i,t} = r_{f,t}+ \beta_{i,t} (r_{m,t}-r_f) + \varepsilon_{i,t}. \end{align*} $$ 單一指數模型（又稱市場模型）（SIM）之間有一個重要的區別，它讀作 $$ \begin{align*} r_{i,t} = \alpha_{i,t} + \beta_{i,t}(r_{m,t}-r_{f,t}) + \varepsilon_{i,t} \end{align*} $$ 和資本資產定價模型（CAPM），讀作 $$ \begin{align*} \mathbb{E}t[r{i,t}] - r_{f,t} &= \frac{\mathbb{C}\text{ov}t(r{i,t+1},r_{m,t+1})}{\mathbb{V}\text{ar}t[r{i,t+1}]} \cdot (\mathbb{E}t[r{m,t+1}]-r_{f,t}) \ &= \beta_{i,t} \cdot (\mathbb{E}t[r{m,t+1}]-r_{f,t}). \end{align*} $$
（下標表示條件期望/變異數/共變異數）。因此，CAPM 是一種關於預期收益的均衡資產定價模型，例如，假設 SDF 在市場收益中是線性的，它可以從隨機貼現因子 (SDF) 框架推導出來。特別是，沒有特殊的風險成分 $ \varepsilon_{i,t} $ .
您可以立即看到兩個 CAPM 方程如何與您引用的方程一致： CAPM 假設任何資產的預期超額收益與市場投資組合（所有資產的價值加權投資組合）的預期超額收益成正比，即 $ \alpha_{i,t}=r_{f,t} $ .
SIM 純粹是一個統計模型，它根據某些因素的回報對歷史回報進行回歸（這可能是一個模仿市場投資組合的投資組合，但也可能是被認為會推動回報的任何其他因素）。通過 SIM 模型的標準 OLS 回歸，係數 $ \beta_{i,t} $ 估計是 $ \frac{\mathbb{C}\text{ov}(r_{i,t},r_{m,t})}{\mathbb{V}\text{ar}[r_{i,t}]} $ . 因此，SIM 可用於憑經驗測試 CAPM（即，如果 CAPM 為真，我們會發現 $ \alpha $ 與零沒有統計學差異等），但可能不會與 CAPM 混淆。事實上，實證檢驗確實對 CAPM 是一個好的模型提出了強烈的懷疑。
查閱任何計量經濟學教科書（如果您能夠服用非藥物鎮靜劑）。你會得到數百頁的 Beta 方程：有的有帽子，有的有星星，有的有星星和帽子。“Beta”只是回歸係數的正常簡寫。
因此，如果說債券收益率的 1% 變化與股票價格的 X% 變化相關，那就是一個貝塔。
CAPM 只是一個特例，它認為任何資產的公平超額回報（即回報較少的現金）應該與其不可分散的風險成正比。這是一個直覺的論點，符合一堆經濟理論框。但它是否與市場現實和結果有任何相似之處是另一回事。
假設確實如此；這只是該理論認為應該相關的 beta 家族的一種應用。但這只是該理論認為應該與資產估值相關的眾多貝塔之一。