洞察因子模型如何實現降維？
瀏覽有關因子模型的文獻，我不斷看到“降維”一詞以及因子模型如何允許在高維情況下對資產進行建模，我非常感謝一些關於其工作原理的解釋。
當我們嘗試對整個資產領域（>1000，或 $ K $ , 資產, 比方說) 用於最優投資分配, 但沒有足夠的時間序列數據 $ N $ 每個資產的數據點，標準技術在以下情況下停止工作 $ N < K $ . 這是一個明確的問題。
現在，因子模型試圖解釋單個資產隨時間的回報， $ R_t $ ， 和 $ k $ 共同因素 $ X_{k,t} $ , 通過基本模型 $$ R_t = \beta_0 + \beta_1X_{1,t} + \beta_2X_{2,t} + \ldots + \beta_kX_{k,t} + \epsilon_t $$
簡而言之，這樣的模型如何闡述 $ R_t $ 的行為降低了問題的維數？仍然有 $ K $ 要建模的資產。Meucci 的*Risk and Asset Allocation* (2005) 在 pg 中這樣描述它。132，沒有令人滿意的解釋（與 $ X $ 作為回報和 $ F $ 作為因素），
我希望有人可以提供解釋這一點的見解。
編輯：
有人可以帶我逐步完成這個虛構的例子嗎？
我們有
- $ K=20 $ 股票，
- $ N=10 $ 每個的每週價格點（所以 $ N\times K $ 矩陣）
- $ X=5 $ 20 隻股票共享的因子（每隻股票也有 10 個數據點）
由於無法正常計算所有股票的共變異數（因為 $ N<K $ )，從數學上講，因子建模如何重新創建共變異數矩陣？
簡單地說，作者的意思是可以通過因子建模來實現降維，因為您可能只需要很少的因子（等於或小於變數/股票的數量）來解釋變數/股票共變異數矩陣中的大部分變化。
簡單的例子：假設你有 3 個量化科目：數學（M）、化學（C）和物理（Ph），你不想衡量每個科目的人的知識，因此你可以進行因子分析並減少你的維度 3將受試者分為單個因素，例如“定量智能”（QI）因素，其中每個受試者都是該因素的線性組合，例如 M = $ \beta $ QI + $ \epsilon $ .
我想你可能想多了。最後的關係（3.114）確實是它的癥結所在。簡而言之，單個資產會受到一組因素（X < K）的影響，並且可以這樣建模，而不是被特殊驅動。作為類比，它類似於用於模擬 FI 回報的 PCA，我們可以說三個因素解釋了 90% 以上的變化，而債券僅由特殊因素驅動。假設因素是詳盡的並且市場是完整的，這顯然是一種更簡單的模擬證券回報的方法。