維納過程的隨機積分回歸
這個問題是以下問題的後續：隨機積分的條件期望，所以我不會在假設和符號方面重複自己。
使用布朗橋方法，我們知道 $ {\mathbb E}[W_t|W_T]=\frac{t}{T}W_T $ . 這與回歸分解兼容 $ W_t $ 上 $ W_T $ ， 如：
$$ W_t = \beta^W_t W_T + \epsilon $$ 為噸 $ \leq T $ ， 在哪裡 $ \epsilon \sim \mathcal{N}(0,1) $ 是一個獨立的雜訊和 $ \beta^W_t $ 確實可以解釋為標準的 OLS 估計量
$$ \beta^W_t = \frac{{\mathbb Cov}(W_t,W_T)}{{\mathbb Var}(W_T)} = \frac{{\mathbb E}[W_t W_T]}{{\mathbb E}[W^2_T]} = \frac{t}{T} $$
在隨機積分的條件期望問題中，我們證明了確定性函式的隨機積分的條件期望 $ \sigma_t $ $$ M_t = \int_0^t \sigma_s dW_s $$ wrt到維納過程 $ T \geq t $ 可以寫成
$$ {\mathbb E}[M_t|W_T] = \frac{\int^t_0 \sigma_s ds}{T} W_T $$
以此類推，我們將上述回歸分解擴展為
$$ M_t = \beta^M_t W_T + \epsilon $$
和
$$ \beta^M_t = \frac{\int^t_0 \sigma_s ds}{T} $$
現在， $ \beta^M_t $ 可以正確解釋為 OLS 估計量，只要
$$ \beta^M_t = \frac{{\mathbb Cov}(M_t,W_T)}{{\mathbb Var}(W_T)} = \frac{\int^t_0 \sigma_s ds}{T} $$
也就是說，只要隨機積分之間的共變異數 $ M_t $ 和維納 $ W_T $ 是
$$ {\mathbb Cov}(M_t,W_T) = \int^t_0 \sigma_s ds $$
這是我們要證明的猜想。
根據定義，
$$ {\mathbb Cov}(M_t,W_T) = {\mathbb E}[M_t W_T] - {\mathbb E}[M_t] {\mathbb E}[W_T] = {\mathbb E}[M_t W_T] $$
自從 $ {\mathbb E}[M_t] = {\mathbb E}[W_T] = 0 $ . 我們現在考慮 $ M_t $ 按照 $ W_t $ 正如這個答案中所建議的
$$ M_t = \sigma_t W_t - \int^t_0 \dot{\sigma}_s W_s ds $$
我們假設 $ \sigma_t $ 足夠規則，使得 $ \dot{\sigma}_t \stackrel{def}{=}\frac{d \sigma}{dt} $ 定義明確。我們可以忍受這一點。
因此，我們可以寫（ $ t \leq T) $ :
$$ \begin{align} {\mathbb E}[M_tW_T] & = {\mathbb E}\left[\left(\sigma_t W_t - \int^t_0 \dot{\sigma}_s W_s ds \right) W_T \right] \ & = \sigma_t {\mathbb E}[W_t W_T] - \int^t_0 \dot{\sigma}_s {\mathbb E}[W_s W_T] ds \ & = \sigma_t t - \int^t_0 \dot{\sigma}_s s ds \ & = \sigma_t t - \left[\sigma_t t - \int^t_0 \sigma_s \cdot 1 ds \right] \ &= \int^t_0 \sigma_s ds \end{align} $$
在倒數第二行中使用了按部分集成。這證明了猜想。