回測離散值隨機變數的 5% 分位數模型？
如果一個隨機變數是離散的，並且我們對它的分位數感興趣，那麼如何定義一個合適的回測程序？
例如，具有離散值的基礎變數是
$$ d(\mbox{account}) = \mbox{PaymentDate} - \mbox{BillingDate} $$ 觀察變數：
$$ y = \mbox{percentile}(d, 95%, \mbox{month}) $$ 或者 $ y $ 是第 95 個百分位值 $ d $ , 特定月份。例如，2013 年 1 月，95% 的信用卡在結算後 20 天內支付。
我如何定義回測方法？
背景
為連續隨機變數定義估計回測方法更容易。現在在我的小組中，我們有這樣一種非參數方法：
基礎變數：
$$ r(\mbox{month}) = \mbox{monthly credit-card account default rate} $$ 例如，2013 年 2 月的違約率為 1.1%，2013 年 1 月的違約率為 1.2%…
觀察變數：
$$ x = \mbox{percentile}(r, 95%) $$ $ x $ 是 95% 的百分位值 $ r $ . 這裡 $ x $ 定義類似於 VaR。
點預測：
$$ \hat x(\mbox{month}) = \mbox{percentile}(r(\mbox{month}), N, 95%) $$ $ \hat x $ 是 95% 的百分位值 $ r $ ， 基於 $ N $ 歷史觀察。
例如，取 $ N=36 $ , 取回 36 個月，違約率 95% 的百分位值 $ r $ 為 2.3%。然後 $ \hat x = 2.3% $ .
點預測異常：
$$ \mbox{PFException}(t) = \begin{cases} 0 & r(\mbox{month}) \leq \hat x(\mbox{month}) \ 1 & \text{otherwise} \end{cases} $$ 正確地說，95% 的時間不會發生異常，而 5% 的時間會發生異常。
回測：
有POF測試，檢查異常率；並且獨立測試，檢查異常的相關性。
例如，Kupiec (1995) 提出了一個 POF 測試檢查在之前 36 個月的點預測中發生的異常：0-4 異常是正常的，綠燈，4-7 異常是黃燈，而超過 8 個異常是紅燈。
Christoffersen (1998) 提出了一個獨立的測試。
Kupiec, P. (1995)。驗證風險管理模型準確性的技術。衍生物雜誌 3, 73–84。
克里斯托弗森，P. (1998)。評估區間預測。國際經濟評論 39, 841–62。
只是為了回答我自己的問題。離散變數的分位數，可以建模和測試。我關注了這篇論文：“離散分位數估計”，Halina Frydman 和 Gary Simon，紐約大學，2007 年 1 月 29 日。詳細方法在裡面。