作為無條件預期的預期短缺
Acerbi 對預期的短缺進行了多次回測。第二次回測就是基於這個等式
有人知道如何推導出這個等式嗎？誰能解釋一下，為什麼它有意義，尤其是除以 $ \alpha $ ?
這就是我知道預期短缺的方式
讓 $ X_t $ 是一個隨機變數，它對某個事件的條件期望 $ E $ 是（誰）給的：
$$ \mathbb{E}^{\mathbb{P}}[X_t|E]=\frac{\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[\mathbf{1}_EX_t]}{\mathbb{P}(E)} $$ 在我們的例子中，預期短缺定義為：
$$ \text{ES}{\alpha,t} = -\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[X_t|X_t + \text{VaR}{\alpha} < 0] $$ 因此：
$$ \begin{align} \text{ES}{\alpha,t} & = -\frac{\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[\mathbf{1}{{X_t + \text{VaR}{\alpha} < 0}}X_t]}{\mathbb{P}(X_t + \text{VaR}{\alpha} < 0)} \[9pt] & = -\frac{\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[\mathbf{1}{{X_t + \text{VaR}{\alpha} < 0}}X_t]}{\alpha} \[11pt] & = -\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\frac{\mathbf{1}{{X_t + \text{VaR}{\alpha} < 0}}X_t}{\alpha}\right] \end{align} $$ 第二步是定義的結果 $ \text{VaR}_{\alpha}. $