因子模型是否總是包含交易的投資組合，或者它也可以是其他變數？
因子模型是否總是包含交易的投資組合，或者它也可以是其他變數？例如，一個四因素模型
$ R^e_{it}=\alpha_i+\beta^{M}_{i}\text{MKT}t+\beta^{SMB}{i}\text{SMB}t+\beta^{HML}{i}\text{HML}_t+\beta^{CPI}\text{CPI}_t $ ，我們有典型的 Fama-French 三因子模型，增加了消費者價格指數的值（因此不是交易組合）。我們可以測試個人（5x5 大小/價值）投資組合嗎 $ \alpha s $ 對於這樣的模型還是不能以這種方式工作？
Chen、Ross 和 Roll (1986)開發了一個著名的 (APT) 要素定價模型。該模型建議 $$ R_{i,t}=a_i + \beta_{i,MP}MP_t + \beta_{i,UI}UI_t + \beta_{i,DEI}DEI_t+\beta_{i,UPR}UPR_t+\beta_{i,UTS}UTS_t+\varepsilon_{i,t}, $$ 在哪裡 $ \varepsilon_{i,t} $ 是一個特殊的術語。這些因素並不都是可交易的回報。 $ UPR $ 和 $ UTS $ 是，但是 $ MP $ , $ UI $ 和 $ DEI $ 不是。儘管如此，您可以在模型中包含這些因素並使案例如Fama 和 MacBeth (1973)回歸來估計風險溢價。個別因素是
- 工業生產月度增長 $$ MP_t = \ln\left(\frac{IP_t}{IP_{t-1}}\right) $$
- 意外通脹 $$ UI_t=I_t-\mathbb{E}_{t-1}[I_t] $$
- 預期通貨膨脹的變化 $$ DEI_t=\mathbb{E}t[I{t+1}]-\mathbb{E}_{t-1}[I_t] $$
- 違約風險溢價 $$ UPR_t=\text{Baa or under bond returns}_t - \text{Long-term government bond returns}_t $$
- 期限結構溢價 $$ UTS_t= \text{Long-term government bond returns}t - \text{Treasuary-bill rate}{t-1} $$
有時，研究人員可能想要使用可交易的投資組合。Chan、Karceski 和 Lakonishok (1998, JFQA)或Cooper 和 Priestley (2011, JFE)是遵循這種方法並描述如何獲得 CRR 因子的模擬投資組合的範例。
有疑問，看看約翰科克倫怎麼說總是好的。
任何模型的定價含義都可以通過其因子模擬組合來等效地表示。如果一組經濟變數驅動存在任何測量誤差 $ m $ , 真實的因子模擬投資組合 $ m $ 將資產定價好於估計 $ m $ 使用測量的宏觀經濟變數。
因此，用統計賽馬來評估經濟上有趣的模型與使用投資組合收益作為因素的模型可能不是一個好主意。即使在大樣本中，經濟上有趣的模型，即使是真實的和完美的測量，也將等於他們自己的因子模擬投資組合的表現。加上任何測量誤差，經濟模型的表現都將遜於其自身的因子模擬投資組合。