因子模型假設

我正在閱讀 McNeil 等人的《定量風險管理》一書中的因子模型。在第 3.4.1 節中，他們介紹了一個線性因子模型

$$ X = a + BF + \epsilon, $$ 在哪裡 $ X \in R^d $ , $ F \in R^p $ . 他們做出以下假設：

1. $ \epsilon = (\epsilon_1, \ldots, \epsilon_d)’ $ 是異質項的隨機向量，這些項不相關且均值為零
2. $ \text{cov}(F, \epsilon) = 0 $ .

我知道如果有其他因素，說 $ B_{p+1} F_{p+1} $ ， 然後 $ \epsilon $ 將不再是不相關的。因此，假設 (1) 可能確保所有風險因素都已被擷取，並且剩餘的隨機性確實是特殊的。

我們如何理解假設（2）？

事實上，假設 2 是自然的。需要證明的是假設 1。

嚴格來說，假設 2 不是假設。這只是回歸的推論 $ X $ 反對 $ F $ . 線上性代數的語言中，它是所有向量空間的分解 $ X $ 進入跨越的子空間 $ F $ 及其正互動補子空間。這個等式是準確的。

然而，假設 1 不一定滿足，除了關於均值零的部分，這只是具有常數的結果和目的 $ a $ 吸收所有非零均值。人們可以很容易地建構任意數量的向量，它們的互補成分彼此高度相關。然而，大概大部分的變異數是由 $ F $ ，所以無論你對殘差向量說什麼都是無關緊要的，除了它們的殘差變異數。因此，您不妨將它們視為完全不相關。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/14850