因子模型 - 最小變異數投資組合CompletePro的_C這米pl和噸和磷r這這FComplete Proof
有人可以檢查我的證明嗎？我認為有些地方不太對勁。我也在網上找到了有限的資源，所以我認為在網際網路上獲得它可能會使其他人受益。
假設有 $ K $ 時間序列因子 $ T $ 返回觀察每個和 $ N $ 股票。我們的模型表明，模型中每隻股票的收益是因子收益的線性組合，例如向量隨機變數形式 $ R_i = \beta_i F + \epsilon_i $ . 具有權重的投資組合的收益變異數 $ w $ 是（誰）給的 $ \text{Var}(w^\prime R) = w \beta \text{Var}(F) \beta^\prime w + w^\prime \text{Var}(\epsilon) $ .
定義：
- $ w $ ( $ N \times 1 $ ) 投資組合權重
- $ \beta $ ( $ K \times N $ ) 因子載入矩陣
- $ \Omega = \beta^\prime \text{Var}(F) \beta $ ( $ N\times N $ ) 因子風險矩陣
- $ e = \text{Var}(\epsilon) $ ( $ N \times 1 $ ) 庫存特定差異
- $ \lambda $ ( $ 1\times 1 $ ) 拉格朗日乘數
- $ \vec 1 $ ( $ N\times 1 $ )
將權重和的拉格朗日乘數添加到一個約束後的優化問題是：
$$ w^* = \text{argmin}_w \left[ w^\prime \Omega w + w^\prime e - \lambda(w^\prime \vec 1 - 1)\right] $$ 一階條件是
$$ 2w^\prime \Omega + e^\prime - \lambda \vec 1^\prime = 0 $$ $$ w^\prime \vec 1 = 1 $$ 求解第一個方程 $ w^\prime $ 按照 $ \lambda $ 產量
$$ w^\prime = \frac{1}{2}\left( \lambda \vec 1^\prime - e^\prime \right) \Omega^{-1} $$ 將其代入第二個 FOC 的結果是
$$ 1 = \left( \frac{1}{2}\left( \lambda \vec 1^\prime - e^\prime \right) \Omega^{-1} \right) \vec 1\ \implies 2 = \lambda \vec 1^\prime \Omega^{-1} \vec 1 - e^\prime \Omega^{-1} \vec 1 \ \implies \lambda = \frac{2 + e^\prime \Omega^{-1} \vec 1}{\vec 1^\prime \Omega^{-1} \vec 1 } $$ 將拉格朗日函式代入第一個 FOC 得到結果
$$ w^{*\prime} = \frac{1}{2}\left[ \left(\frac{2 + e^\prime \Omega^{-1} \vec 1}{\vec 1^\prime \Omega^{-1} \vec 1 }\right)\vec 1^\prime - e^\prime \right] \Omega^{-1} $$ 我不確定它是否可以寫得比這更簡單，但是當我將其編碼到 PCA 統計因子模型中時，我得到的權重並不像約束所暗示的那樣總和為 1。
結果
最終，我認為最初完成的任何數學運算都沒有真正的問題，但是感謝@John，對問題的重新表述確實有幫助。為了完整起見，最終證明如下。
定義：
- $ w $ ( $ N \times 1 $ ) 投資組合權重
- $ \beta $ ( $ K \times N $ ) 因子載入矩陣
- $ \Omega = \beta^\prime \text{Var}(F) \beta $ ( $ N\times N $ ) 因子風險矩陣
- $ e = \text{Var}(\epsilon) $ ( $ N \times N $ ) 股票特定變異數的對角矩陣
- $ \lambda $ ( $ 1\times 1 $ ) 拉格朗日乘數
- $ \vec 1 $ ( $ N\times 1 $ )
- $ \Sigma \equiv \Omega + e $
在這個公式下，投資組合變異數由下式給出
$$ \text{Var}(w^\prime R) = w^\prime \beta \text{Var}(F) \beta^\prime w + w^\prime \text{Var}(\epsilon) w\ = w^\prime \Omega w + w^\prime e w\ = w^\prime \Sigma w $$ 將權重和的拉格朗日乘數添加到一個約束後的優化問題是：
$$ w^* = \text{argmin}_w \left[ w^\prime \Sigma w - \lambda(w^\prime \vec 1 - 1)\right] $$ 一階條件是
$$ 2w^\prime \Sigma - \lambda \vec 1^\prime = 0 $$ $$ w^\prime \vec 1 = 1 $$ 求解第一個方程 $ w^\prime $ 按照 $ \lambda $ 產量
$$ w^\prime = \frac{1}{2}\lambda \vec 1^\prime \Sigma^{-1} $$ 將其代入第二個 FOC 的結果是
$$ 1 = \frac{1}{2} \lambda \vec 1^\prime \Sigma^{-1} \vec 1^\prime \implies \lambda = \frac{2}{\vec 1^\prime \Sigma^{-1} \vec 1} $$ 將拉格朗日函式代入第一個 FOC 得到結果
$$ w^{\prime} = \frac{1^\prime \Sigma^{-1}}{\vec 1^\prime \Sigma^{-1} \vec 1} $$ 在實踐中，我從直接封閉形式估計中得到的結果 $ w^ $ 即使是很小的值也有些不穩定 $ N $ 並產生包括非常高的槓桿率在內的結果。這可能是一個編碼問題，我正在重新檢查程式碼，但我相當有信心沒有嚴重的編碼錯誤。
如果每個因素都由一個投資組合來表示，似乎最好估計 $ K $ 然後將因子的最小變異數組合的權重相乘以獲得最終的組合權重。
在@silencer 的評論之後，您的變異數公式是錯誤的。我建議不要嘗試重新發明輪子，而只需使用其他人都使用的公式。所以我會用你的第一個縮進線替換
$$ w^{}\equiv argmin\left{ \frac{1}{2}w’\varSigma w-\lambda\left(w’\mathbf{1}-1\right)\right} $$ 這會給你 $$ w^{}=\frac{\Sigma^{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}’\Sigma^{-1}\mathbf{1}} $$ 然後你可以更換 $ \Sigma $ 無論您的 PCA 或因子模型告訴您它應該是什麼。