如何從 Vasicek 一因子模型中確定風險溢價？
Vasicek 一因子模型下真實世界測度下的短期利率 $ \mathbb{P} $ 如下： $$ dr(t)=(a\theta - (a+\lambda \sigma)r(t))dt + \sigma dW(t), $$ $$ r(0)=r_0 $$
在哪裡 $ \lambda $ 是風險的市場價格。即。風險溢價
現在，在 Vasicek 模型下， $ \lambda $ 通常選擇為常數。即。 $ \lambda(t)=\lambda $
但是，如果不是這種情況怎麼辦，相反，風險溢價是與時間相關的，即。 $ \lambda(t) $ ? 在這種情況下：
- 如果我想確定 $ \lambda(t) $ ?
- 將傳統公式 $ \lambda = (\mu - r_f)/\sigma $ 在這種情況下工作？
這甚至是一個值得思考的問題嗎？抱歉，如果這沒有意義，並提前感謝您。
我推薦兩篇可以幫助你完成這個練習的論文。
第一個是“廣義 Vasicek 期限結構模型的卡爾曼濾波”。本文提供了使用卡爾曼濾波技術校準期限結構模型的通用框架。該方法能夠解開風險中性和物理措施下的參數，將差異歸因於風險溢價。本文針對廣義 Vasicek 模型，單因素 Vasicek 模型屬於該模型。
當應用上述論文中的方法時，我們通常發現風險溢價估計可能非常不穩定並且可能是荒謬的。第二篇論文，利率預測調查數據的期限結構估計（和姊妹論文，無套利的三因素期限結構模型和長期收益率和遠期遠期利率的近期行為），提供了一個簡單的擴展，允許您將基於調查的利率預測（即觀察到的利率預期）納入估計過程，讓您更有信心地確定物理測量中的參數。
只有短期利率 $ r_t $ （不是可交易資產）給定，我們有一個沒有風險資產的環境，但至少有一個布朗運動驅動因素（不完整的市場模型）。唯一的交易資產是銀行賬戶：
$$ d\beta_t = r_t \beta_t dt, ; \beta_0 = 1, $$
這是一種本地無風險資產。零息債券將被視為利率衍生品 $ r $ 作為底層。等價鞅測度的存在由以下事實保證
$$ e^{-\int_0^t r_u du} \beta_t =1, $$
所以任何措施 $ Q $ 相當於 $ P $ 在這種情況下是一個等價的鞅測度。
此外，風險資產的漂移條件（它們之間的關係 $ \mu $ , $ \sigma $ 和 $ r $ , $ \lambda $ ) 自動滿足，因為沒有風險資產。因此，任何局部指數鞅為 $ P $ -馬丁格爾可以選擇作為風險的市場價格。例如，請參見仿射模型風險規範的市場價格：仿射模型類中此類規範的理論和證據（Vasicek 作為特例）。
這表明，在實踐中，可以指定 $ r $ SDE（線性函式 $ r $ 在 Vasicek 案例中）和風險的市場價格直接在 $ Q $ 測量（擴散係數 $ r $ 在 Girsanov 測量變化下，SDE 保持不變）。選擇 $ Q $ 那麼就等價於選擇 $ r $ SDE（通過校準，例如，交易的目前零息債券期限結構和其他利率衍生品，如選擇 $ Q $ 已經是風險中性的。）