為什麼在 Fama-French 因子模型中，相對市值和賬面市值比不直接用於預測回報率？
Fama 和 French 使用以下公式預測股票收益
$$ \begin{align*} r=r_{riskfree} + \beta_1(r_{market}-r_{riskfree})+\beta_2(SMB)+\beta_3(HML) \end{align*} $$
這基本上意味著為了找到某隻股票的預期收益，您應該將其超額收益與市場超額收益、小減大投資組合收益和價值減增長投資組合收益進行回歸。
這感覺非常違反直覺，因為如果我們認為小盤股公司存在溢價，為什麼不直接使用有關資本化的資訊（例如相對資本化與市值或百分位數）？僅僅是因為它工作得更好還是背後有一些直覺？
如果不這樣做，Fama-French 模型使大盤股實際上可以賺取小盤股溢價，前提是它出於任何原因 $ \beta_{2}>0 $ ，這在可解釋性方面毫無意義。
SMB 和 HML 投資組合的形成方式背後也沒有直覺（例如，為什麼不是 40% 的最小市值股票減去 30% 的最大市值股票而不是 50/50？這裡沒有針對任何部門的具體理由）
如果不清楚我的意思，請考慮以下模型： $$ \begin{align} r - (\beta_1(r_{market}-r_{riskfree})+r_{riskfree}) = (cap:premium)(cap:percentile) + (value:premium)(book-to-market) + const \end{align*} $$ 通過對不同股票進行回歸，可以找到資本溢價（預計為負）和價值溢價，然後用於找出股票可以產生的超額收益（超過 CAPM 的預測）。這裡直接包括相對市值和賬面市值比，因此對於具有相同系統風險和賬面市值比的大公司來說，不可能有更高的預期回報，這更有意義*
所以，讓我從免責聲明開始。在其他地方，我提出了三個數學論點，它們會以你沒有問的方式影響這個問題，但我覺得我應該披露。
第一個是，由於回報率是價格乘以數量的比率加上根據破產和合併調整的股息，因此回報率不可能具有總體均值，即使是平穩的。這意味著 Fama-French 無效。從數學上講，這是毫無意義的。它試圖偽造的 CAPM 也是如此。
第二個是，由於頻率論機率在德菲內蒂的意義上是不連貫的，任何建立在頻率論公理上的模型都將迫使計算產生的套利機會存在，從而擊敗沒有套利假設的情況*。*
第三個論點是 CAPM 所基於的微積分假設所有參數都是已知的並且沒有人進行估計。對於一些科學模型，兩者之間的差異可以忽略不計。對於金融來說，這個假設是災難性的，因為 1958 年有證據表明 CAPM 或 Fama-French 等模型無法在公理內找到解決方案。
讓我們假設以上都不是真的。讓我們也關注 CAPM 的有效性。讓我們還假設我們必須對所有參數值進行估計。
CAPM 建立在頻率論公理之上，因此我們將使用頻率論決策理論對其進行測試。
在頻率論決策理論中，我們斷言原假設為真，並為原假設選擇一個截止值，例如 $ p<.05 $ 或其他一些價值。雖然我假設您知道這一點，但它也會影響討論，所以我要明確表示。
CAPM 中唯一真正的預測是任何截距都將為零。不幸的是，由於各種統計原因，這並不是一個真正可檢驗的假設。
但是，如果所有資訊都包含在 $ \beta $ ，那麼所有其他可能因素的影響應該為零，無論您如何建構它們。感興趣的零點是 $ \beta_{SML}=0 $ 和 $ \beta_{HML}=0 $ . 如果 null 被偽造，則 CAPM 被偽造。到目前為止，我們只是在標準的推理方法中，但我們將進入決策理論。
如果兩者 $ \hat{\beta} $ 是在接受區域，那麼頻率論決策理論要求你表現得好像空值是真的一樣。在這種情況下，資本資產定價模型應被視為真實。請注意，頻率論決策理論並不斷言空值的真假。它說你應該表現得像真的一樣。
如果要麼 $ \hat{\beta} $ 是在拒絕區域，那麼你的行為就好像CAPM 是假的。如果你停在那裡，那麼你會按照 Ronald Fisher 理解的方式進行推斷。偽造空值沒有任何資訊，除了空值可能是假的。沒有其他的。費舍爾沒有替代假設作為想法。
但是，由於您使用零點控制頻率、設置截止頻率並可能控制功率，因此您可以做出更強有力的決定。您可以決定拒絕 null 並表現得好像您指定的替代項為真。
Fama 和 French 只是拒絕了 null。CAPM 是偽造的。儘管如此，該領域還是邁出了下一步，並採取了另一種選擇，就好像真的一樣。
您的問題已經引起了 Fama French 的問題之一。在均值變異數金融中，它沒有經濟理由證明它是正確的。由於普通最小二乘法中因子的獨立性假設，它可能會產生違反直覺的結果。
它的結構也沒有聖潔。為什麼要在原來的位置創建分位數切割？模型不是從山上下來的，不是刻在石頭上的嗎？它由實用的選擇組成。沒有理由相信它與數據生成功能有關。
頻率論決策理論的弱點在於，當你的替代方案缺乏理論基礎時，它是*“目前”*最好的模型，但沒有內在的有效性。
困難是由於沒有二元選擇而造成的。Fama-French 模型並不是指定 CAPM 替代方案的唯一可能方法。如果是，那麼它將是唯一的選擇，一切都會好的。
要查看一個簡單的範例，請考慮一個載入的骰子，該骰子的出現機率為 2/5、3/5 或 4/5。想像一下，你擲了 13 次骰子。如果您選擇 2/5 作為您的空值並且它被拒絕，則最大概似估計器無法映射到任何一個備選方案，因為 5 不會進入 13。空值也會在零處被拒絕。當然，如果您觀察到零，則最可能的載入是 2/5。該載入被排除在外，因為它被拒絕了。
當您無法根據二元選擇進行思考時，零假設方法會出現問題。沒什麼特別的 $ H_0:\theta=2/5 $ 你可以選擇 $ H_0:\theta=3/5 $ 或者 $ H_0:\theta=4/5 $ 同樣有效。Not 2/5ths 不允許您區分 3/5 或 4/5 的有效性。
Fama-French 只是無數可能的替代結構之一。