持續時間的替代解釋
在許多知名網站（例如Investopedia）中，債券久期被解釋為衡量債券價格通過其內部現金流償還所需的時間（以年為單位）。 我的理解是久期只是未來現金流量現值的時間加權平均值。
我無法看到期限如何解釋債券何時償還。請解釋
編輯：即使像約翰赫爾這樣的知名作家也提到了這種理解
這是一個糟糕的定義
你引用的定義，“
$$ duration is $$衡量債券價格需要多長時間（以年為單位）通過其內部現金流來償還”並不是麥考利久期的合理定義。 我能在該語言背後找到解釋的唯一地方是債券期限維基百科文章的先前版本，該文章稱該定義是一個不准確和混亂的概念。
久期有時被錯誤地解釋為衡量債券價格通過其內部現金流償還所需的時間（以年為單位）。這個數量是永續債券的久期（假設票面收益率曲線平坦），簡單地說 $ \frac {1}{r} $ . 例如，如果債券每年支付 5% 並按面值發行，則需要 20 年的時間才能償還其價格。請注意以這種方式解釋久期的荒謬之處：假設債券的年利率為 5%，期限為 5 年，久期約為 4.37，而債券的價格在到期前（5 年）不會全額償還。
重新創建數學？
假設您有一個帶有永久優惠券的控制台 $ C $ .
如果利率是一個常數 $ r > 0 $ 那麼現值由下式給出：
$$ \begin{align*} V &= \lim_{T \rightarrow \infty} \sum_{t=1}^T \frac{C}{(1 + r)^t} \ &= \frac{C\left(\frac{1}{1+r} \right)}{1 - \frac{1}{1 + r}}\ &= \frac{C}{r} \end{align*} $$ 麥考利持續時間由下式給出：
$$ \begin{align*} D_M &= \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{C/r} \sum_{t=1}^T t \frac{C}{(1+r)^t} \ &= r \lim_{T \rightarrow \infty} \sum_{t=1}^T t \left( \frac{1}{1+r}\right)^t \end{align*} $$ 內部是算術幾何級數。無限和可以寫成 $ \frac{ \left( \frac{1}{1+r} \right)}{\left(1 - \frac{1}{1+r}\right)^2} $ 這簡化為 $ \frac{r+1}{r^2} $ 因此：
$$ D_m = 1 + \frac{1}{r} $$ 你會得到 $ \frac{1}{r} $ 作為麥考利久期和 $ \frac{C}{r} + C $ 如果包括未貼現現金流，則作為價格 $ C $ 而不是從 $ \frac{C}{1+r} $ .
讓我們考慮一個簡單的情況 $ T $ -年零息債券，其連續複利收益率為 $ y_t $ . 那麼它的價格和收益率是相關的
$$ P = e^{-y_T \cdot T} . $$ 根據定義，修改後的持續時間是
$$ -\frac{1}{P}\frac{dP}{dy} =\frac{e^{-y_T\cdot T} \cdot (-T)}{e^{-y_T\cdot T}} = T. $$ 這表明，對於零息債券，假設其到期收益率是連續複利的，那麼其修正久期和到期時間是相同的。
然而，如果債券不是零息債券並且複利慣例不是連續的，那麼這個直覺的結果就不再成立。
通過一些相對簡單的數學，我們可以證明支付半年息票並在 $ T $ 年是
$$ D_\text{mac} = \frac{1}{P}\left[ \sum_{t=1}^{2T} \frac{t}{2}\frac{c/2}{(1+y/2)^t} + T \frac{100}{(1 + y/2)^{2T}}\right] . $$ 這表明，Macauley 久期是現金流的時間加權現值除以價格，或（大致）現金流現值加權的到期時間。
麥考利持續時間在現實生活中有多大用處？坦率地說，不是很……從分析的角度來看，唯一使用的概念將是修改的持續時間或有效持續時間。不幸的是，它們都沒有很好的解釋（除了上面顯示的最簡單的情況）。