應用伊藤引理，尋找鞅的條件
Vasicek 短期利率模型是 $$dr_t=\kappa(\theta-r_t)dt+\sigma dW_t$$ 定義過程 $x_t$ 和 $f(x,t)$ $$x_t=\frac{r_t}{\ kappa}(1-e^{-\kappa(Tt)})+\int_0^tr_sds$$ $$f(x,t)=e^{a(Tt)-x_t}$$ 注意 $a(t )$ 是一個函式。
問題 1：使用 Ito 引理求 $df(x,t)$。
我的嘗試： \begin{align} dx_t&=\frac{1-e^{-\kappa(Tt)}}{\kappa}dr_t+\frac{r_t}{\kappa}(-e^{-\kappa(Tt )})\kappa dt\ &=\frac{1-e^{-\kappa(Tt)}}{\kappa}(\kappa(\theta-r_t)dt+\sigma dW_t)-r_te^{-\ kappa(Tt)}dt\ &=(1-e^{-\kappa(Tt)})(\theta-r_t)dt+\frac{\sigma}{\kappa}(1-e^{-\kappa (Tt)})dW_t-r_te^{-\kappa(Tt)}dt\ &=\Big( (1-e^{-\kappa(Tt)})\theta-r_t+r_te^{-\kappa (Tt)}-r_te^{-\kappa(Tt)}\Big)dt+\frac{\sigma}{\kappa}(1-e^{-\kappa(Tt)})dW_t\ &=\Big ((1-e^{-\kappa(Tt)})\theta-r_t\Big)dt+\frac{\sigma}{\kappa}(1-e^{-\kappa(Tt)})dW_t \end {對齊} $$(dx_t)^2=\frac{\sigma^2}{\kappa^2}(1-e^{-\kappa(Tt)})^2dt$$
$$\ln{f(x,t)}=a(Tt)-x_t$$ $$d\ln{f(x,t)}=d_ta(Tt)-dx_t=d_ta(Tt)-\Big( (1-e^{-\kappa(Tt)})\theta-r_t\Big)dt-\frac{\sigma}{\kappa}(1-e^{-\kappa(Tt)})dW_t$$ $$(d\ln{f(x,t)})^2=(dx_t)^2=\frac{\sigma^2}{\kappa^2}(1-e^{-\kappa(Tt) })^2dt$$ 將伊藤引理應用於 $f(x,t)$ \begin{align} d(e^{\ln{f(x,t)}})&=f(x,t)d\ ln{f(x,t)}+\frac{1}{2}f(x,t)(d\ln{f(x,t)})^2\ &=f(x,t)\ Bigg(d_ta(Tt)-\Big( (1-e^{-\kappa(Tt)})\theta-r_t\Big)dt-\frac{\sigma}{\kappa}(1-e^{- \kappa(Tt)})dW_t\Bigg)+\frac{\sigma^2}{2\kappa^2}(1-e^{-\kappa(Tt)})^2dt\ &=f(x ,t)\Bigg(\frac{d}{dt}a(Tt)-\Big( (1-e^{-\kappa(Tt)})\theta-r_t\Big)+\frac{\sigma^ 2}{2\kappa^2}(1-e^{-\kappa(Tt)})^2\Bigg)dt-\frac{\sigma}{\kappa}(1-e^{-\kappa( Tt)})dW_t\ \end{align} 問題 2：求函式 $a(t)$ 的動力學使得過程 $f(x,t)$ 是鞅。
我的嘗試： $$\frac{d}{dt}a(Tt)-\Big( (1-e^{-\kappa(Tt)})\theta-r_t\Big)+\frac{\sigma^2 }{2\kappa^2}(1-e^{-\kappa(Tt)})^2=0$$ $$\frac{d}{dt}a(Tt)=\Big( (1-e ^{-\kappa(Tt)})\theta-r_t\Big)-\frac{\sigma^2}{2\kappa^2}(1-e^{-\kappa(Tt)})^2$ $ $$d_ta(Tt)=\Bigg(\Big( (1-e^{-\kappa(Tt)})\theta-r_t\Big)-\frac{\sigma^2}{2\kappa^2 }(1-e^{-\kappa(Tt)})^2\Bigg)dt$$
誰能確認我的嘗試的正確性？任何幫助表示讚賞。
筆記 $$dx_t=\frac{1-e^{-\kappa(Tt)}}{\kappa}dr_t-e^{-\kappa (Tt)}r_tdt+\frac{1}{\kappa}\underbrace{d \left[1-e^{-\kappa(Tt)},,,r_t\right]}{0}+r_tdt$$ 因此 $$dx_t=\frac{1-e^{-\kappa( Tt)}}{\kappa}dr_t+\left(1-e^{-\kappa (Tt)}\right)r_tdt,.$$ 換句話說 $$dx_t=\theta\left(1-e^{ -\kappa(Tt)}\right)dt+\frac{1-e^{-\kappa(Tt)}}{\kappa}\sigma,dW_t,.\tag 1$$ 應用伊藤引理，我們有 $$d\left(e^{-x_t}\right)=-e^{-x_t}dx_t+\frac{1}{2}e^{-x_t}\underbrace{d[x_t,,x_t ]}{\frac{\left(1-e^{-\kappa(Tt)}\right)^2}{\kappa^2}\sigma^2dt}$$ 因此 $$d\left(e^ {-x_t}\right)=\left(-\theta\left(1-e^{-\kappa(Tt)}\right)+\frac{\left(1-e^{-\kappa(Tt) }\right)^2}{2\kappa^2}\sigma^2\right)e^{-x_t}dt-\sigma\frac{1-e^{-\kappa(Tt)}}{\kappa } e^{-x_t}dW_t\tag 2$$ 結果 $$df(t,x)=e^{-x_t}d\left(e^{a(Tt)}\right)+e^{a(Tt)}d\left(e^{-x_t}\right)+\underbrace{ d\left[e^{a(Tt)},,,e^{-x_t}\right]}_{0}$$ 換句話說 $$df(t,x)=\left(\frac {\left(1-e^{-\kappa(Tt)}\right)^2}{2\kappa^2}\sigma^2-\theta\left(1-e^{-\kappa(Tt) }\right)-a’(Tt)\right)e^{a(Tt)-x_t}dt-\sigma e^{a(Tt)-x_t}\frac{1-e^{-\kappa(Tt )}}{\kappa}dW_t$$ 或 $$df(t,x)=\mu(t,T)f(t,x_t)dt+\sigma(t,T)f(t,x_t)dW_t\tag 3$$ 其中 $$\mu(t,T)=\left(\frac{\left(1-e^{-\kappa(Tt)}\right)^2}{2\kappa^2}\sigma ^2-\theta\left(1-e^{-\kappa(Tt)}\right)-a’(Tt)\right)$$ 和 $$\sigma(t,T)=-\sigma \frac {1-e^{-\kappa(Tt)}}{\kappa}$$(Tt)\right)e^{a(Tt)-x_t}dt-\sigma e^{a(Tt)-x_t}\frac{1-e^{-\kappa(Tt)}}{\kappa} dW_t$$ 或 $$df(t,x)=\mu(t,T)f(t,x_t)dt+\sigma(t,T)f(t,x_t)dW_t\tag 3$$ 其中 $$\ mu(t,T)=\left(\frac{\left(1-e^{-\kappa(Tt)}\right)^2}{2\kappa^2}\sigma^2-\theta\left (1-e^{-\kappa(Tt)}\right)-a’(Tt)\right)$$ 和 $$\sigma(t,T)=-\sigma \frac{1-e^{- \kappa(Tt)}}{\kappa}$$(Tt)\right)e^{a(Tt)-x_t}dt-\sigma e^{a(Tt)-x_t}\frac{1-e^{-\kappa(Tt)}}{\kappa} dW_t$$ 或 $$df(t,x)=\mu(t,T)f(t,x_t)dt+\sigma(t,T)f(t,x_t)dW_t\tag 3$$ 其中 $$\ mu(t,T)=\left(\frac{\left(1-e^{-\kappa(Tt)}\right)^2}{2\kappa^2}\sigma^2-\theta\left (1-e^{-\kappa(Tt)}\right)-a’(Tt)\right)$$ 和 $$\sigma(t,T)=-\sigma \frac{1-e^{- \kappa(Tt)}}{\kappa}$$