我想知道有人會告訴我如何計算 $ \mathbb{E}(B_3) $ 假如說 $ \int_0^{t}r_s,ds\sim N(0.03t,0.25t) $ , 那麼是

=====

我已經解決了類似的問題：

假如說 $ \int_0^t r_s ds \sim N(0.01t, 0.2t) $ ，然後計算 $ \mathbb{E}(D( 0,1)) $ .

這是我的解決方案：

$ D(t,T):=\frac{B_t}{B_T}=e^{\int_t^T r_s ds} $ .

而且，由於指數是正態分佈，我們可以應用以下內容，

$ \mathbb{E} (D(0,1))= e^{μ + \sigma^2 / 2} = e^{-0.01+1(0.2) /2} = e^{0.09} $ .

但是關於 $ \mathbb{E}(B_3) $ 從以前的問題

這與您在問題中提到的解決方案非常相似:)

讓 $ (r_t) $ 是短期利率 $ \int_0^{t}r_s\mathrm{d}s\sim N(0.03t,0.25t) $ 和 $ B_t $ 銀行賬戶的價值。回想一下，根據定義 $ \mathrm{d}B_t=r_tB_t\mathrm{d}t $ 因此 $ B_t=B_0\exp\left(\int_0^t r_s\mathrm{d}s\right) $ . 因此， $ (B_t) $ 是針對每個時間點 $ t $ 對數正態分佈 $$ \begin{align*} \mathbb{E}[B_3] &= B_0\mathbb{E}\left[\exp\left(\int_0^t r_s\mathrm{d}s\right)\right] \ &= B_0 \mathbb{E}\left[e^{0.03t+\sqrt{0.25t}Z}\right] \ &= B_0 e^{0.155t}, \end{align*} $$ 在哪裡 $ Z\sim N(0,1) $ . 我用那個 $ \mathbb{E}\left[e^{\mu+\sigma Z}\right]=e^{\mu+\frac{1}{2}\sigma^2} $ .

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/49969