凸性公式的推導
假設我有一隻債券，每半年支付一次息票。因此，可以使用以下公式計算該債券的價格：
$$ P = \sum_{i=1}^N \frac{CF_i}{(1 + YTM/2)^{2t_i}} $$ 上面的一階導數是：
$$ \frac{\partial P}{\partial YTM} = \frac{1}{(1 + YTM/2)} \sum_{i=1}^N \frac{-2t_iCF_i}{(1 + YTM/2)^{2t_i}} $$ 價格函式的二階導數（又名凸性）是：
$$ \frac{\partial^2 P}{\partial YTM} = \frac{1}{(1 + YTM/2)^2} \sum_{i=1}^N \frac{({4t_i}^2+2t_i)CF_i}{(1 + YTM/2)^{2t_i}} $$ 並且每年支付多張息票的債券的凸性公式的廣義形式是：
$$ \frac{\partial^2 P}{\partial YTM} = \frac{1}{(1 + YTM/f)^2} \sum_{i=1}^N \frac{({(ft_i)}^2+ft_i)CF_i/f}{(1 + YTM/f)^{ft_i}} $$ 當我將我的結果與Bionic Turtle進行比較時，我得到的結果略有不同。我的推導有什麼錯誤嗎？
謝謝！
您在一階導數和二階導數中省略了鍊式規則項。
一階導數應該是： $$ \frac{\partial P}{\partial YTM} = \frac{1}{2(1+YTM/2)} \sum_{i=1}^N \frac{-2 t_i CF_i}{(1+YTM/2)^{2 t_i}} $$
二階導數應該是： $$ \frac{\partial^2 P}{\partial YTM^2} = \frac{1}{4(1+YTM/2)^2} \sum_{i=1}^N \frac{(4 t_i^2 + 2t_i) CF_i}{(1+YTM/2)^{2 t_i}} $$
用“f”代替“2”： $$ \frac{\partial^2 P}{\partial YTM^2} = \frac{1}{f^2(1+YTM/f)^2} \sum_{i=1}^N \frac{(( f t_i)^2 + f t_i) \cdot CF_i}{(1+YTM/f)^{f t_i}} $$
希望這可以幫助！