永續債期限
我試圖用息票推導出永續債券的期限 $ c $ 有兩種方式：
$$ D=-\frac{\frac{\partial P}{\partial r}}{P}, $$ $$ P=\frac{c}{r} $$ $$ \Rightarrow D = -\frac{-\frac{c}{r^2}}{\frac{c}{r}}=\frac{1}{r} $$ 在第二種方法中，我想使用 Macauley Duration（平均 PV 加權到期時間）推導出久期：
$$ D=\sum_{t=1}^T \frac{c_t}{(1+r)^tP}\cdot t $$ $$ \Rightarrow D=\sum_{t=1}^\infty\frac{ c\cdot t}{(1+r)^t\frac{c}{r}}=\sum_{t=1}^\infty\frac{ r\cdot t}{(1+r)^t}=r\sum_{t=1}^\infty\left(\frac{1}{1+r}\right)^t\cdot t $$ 但是，我無法證明這個總和的收斂性 $ 1/y $ . 我將總和重寫為：
$$ S_m=\sum_{k=1}^mkx^k=\sum_{k=0}^{m-1}(k+1)x^{k+1}=x+x\sum_{k=1}^{m-1}kx^k+x\sum_{k=1}^{m-1}x^k. $$ $$ \Rightarrow (1-x)S_m=x\frac {1-x^m}{1-x} $$ 為了 $ y>0 $ 我們有 $ x=\dfrac1{1+r}<1 $ 所以總和收斂到
$$ \Rightarrow S_m=\frac {x}{(1-x)^2}=\frac {\dfrac1{1+r}}{(1-\dfrac1{1+r})^2} $$ $$ \Rightarrow D=\frac {\dfrac{r}{1+r}}{(1-\dfrac1{1+r})^2} $$ 但是，我無法顯示所需的結果 $ D=\frac{1}{r} $ . 有人可以顯示正確的解決方案嗎？
你走在正確的軌道上。在您展示的第一種方法中，修改後的永續期限是 $ ModDur=\frac{1}{r} $ . 在您的第二種方法中，請記住 $ ModDur=\frac{MacDur}{(1+y_k/k)} $ 所以對於年度複利，你的第二種方法應該收斂到 $ MacDur=ModDur \cdot (1+r) = \frac{1+r}{r} $ ，應該是這樣的。
$$ S_m=\sum_{k=1}^mkx^k=x+2x^2+3x^3+4x^4+… $$ 現在 $$ xS_m=x\sum_{k=1}^mkx^k=x^2+2x^3+3x^4+4x^5+… $$ 減法 $ S_m-xS_m $ 我們得到 $$ S_m-xS_m=x+x^2+x^3+x^4+…+:=A $$ 現在我們注意到 $ A-xA=x $ 產生 $ A=\frac{x}{1-x} $ 並從 $ S_m-xS_m=\frac{x}{1-x} $ 我們發現 $ S_m $ 這是 $ S_m=\frac{x}{(1-x)^2}= $ 在你的觀念中 $ x=\frac{1}{1+r} $ 所以 $ S_m=\frac{1}{1+r}\cdot(1-\frac{1}{1+r})^{-2}=\frac{r+1}{r^2} $ 現在我們將結果代入您的公式
$$ MacDur=r\sum_{t=1}^\infty\left(\frac{1}{1+r}\right)^t\cdot t = r \cdot\frac{r+1}{r^2}=\frac{r+1}{r} $$