用 Ho-Lee 擬合貼現債券的期限結構
我現在正在閱讀一本關於利率建模的書，我無法想像使用 Ho-Lee 模型進行模型校準的實際問題。
顯然，該模型的缺點之一如下：
Ho-Lee 模型實際上有兩個參數 $ - $ $ r(0) $ 和 $ \sigma_r $ $ - $ 可以嘗試用它來擬合初始收益率曲線。應該清楚的是，這不足以正確匹配可觀察到的貼現債券價格，這實際上使該模型不符合實際定價應用的條件
緊接著，這本書陳述了以下內容
幸運的是，補救措施非常簡單：只需引入確定性函式 $ a(t) $ 並將模型更改為 $ r(t) = r(0) + a(t) + \sigma_rW(t) $ 和 $ a(0) = 0 $
兩個問題：
- 在校準這個模型時，我應該怎麼做？有什麼特別流行的方法嗎？
- 為什麼，根據第一句話，我們根本不能用 Ho-Lee 來擬合期限結構？總是這樣嗎？具體來說，一個與時間相關的參數究竟是如何改善這麼多事情的？
他們指的是 Ho-Lee 模型的一個非常簡化的版本，即假設
$$ r(t)=r(0)+{\sigma}W(t) $$在哪裡 $ {\sigma} $ 是一個常數（年化 StDev）。 為簡單起見，假設我們處於離散時間並希望將模型擬合到觀察到的（市場）債券價格。我們假設 $ p=0.50 $ ，即利率上升/下降的機率是恆定的，利率建模為
$$ r_{i+1,j}=r_{i,j}+{\sigma}\times\sqrt{\Delta} $$（利率上升）和$$ r_{i+1,j}=r_{i,j}-{\sigma}\times\sqrt{\Delta} $$（利率下降）。 很明顯，我們處於二項式格子模型中，並且 $ {\Delta} $ 是時間步長。再次，為簡單起見假設 $ {\Delta}=1.0 $ （年）。（順便說一句——這些等式與 Veronesi 在他關於固定收益的書中的解釋一致）
讓我們假設 $ {\sigma}=0.02 $ 讓我們有一個 1y 到期的 ZCB，市場價格為 97.5310 和 2y ZCB，價格為 94.12。
因此 $ r(0)=0.025 $ （那是 $ 97.5310{\times}e^{0.0250}=100 $ ) 並且您現在可以建構整個晶格，即在下一個時期，上升率是 $ 0.045 $ 下降率是 $ 0.005 $ . 如果你給 2y ZCB 定價（假設面對 $ 100 $ ） 你得到 $ e^{-0.0250}{\times}0.50{\times}(e^{-0.045}*100+e^{-0.005}*100)=95.142 $ 這與 94.12 的市場價格不對應。
通過在方程中引入另一個項，即
$$ r_{i+1,j}=r_{i,j}+ {\color{red}{\theta_i}} + {\sigma}\times\sqrt{\Delta} $$ 您使用觀察到的 2y 債券價格來精確擬合格子，即市場價格將與模型價格匹配。這 $ {\theta_{i}} $ s 被稱為自由參數，你真的選擇它們來精確地固定給定的 ZCB 價格（為什麼：你希望你的模型足夠好以匹配市場價格）。
在模型校準方面，您可以使用數值求解器並迭代求解 $ {\theta}_1 $ , $ {\theta_2} $ 等等。如果需要，您可以為每個表達式獲得一個精確的（分析）表達式（與 BDT 模型不同），但數值求解器快速、簡單並且具有足夠好的精度。