對沖 PCA 組件中性交易
假設我有一組金融工具，例如 {1Y, 2Y, …, 30Y} 利率掉期或 {Barclays, Lloyds, ..} FTSE100 公司。哪個沒關係，所以讓我們和IRS一起去吧。
我有歷史數據點，因此我可以計算 PCA 分解並返回按最大特徵值排序的特徵向量，代表主成分：
$$ \mathbf{E} = \left [ \mathbf{e_1 : e_2 : ;.. ;: e_n} \right ] $$
假設我現在有一個風險頭寸組合，或一個特定的交易策略，例如我將支付 2Y5Y10Y 蝴蝶：
$$ \mathbf{t} = \begin{matrix} 1Y \ 2Y \ 3Y \ 4Y \5Y \ 6Y \.. \ 10Y \end{matrix} \begin{bmatrix} 0 \ -1 \ 0 \ 0 \ 2 \ 0 \ .. \ -1 \end{bmatrix} $$
我對每個主成分的風險敞口計算如下：
$$ \mathbf{E^T t} $$
如果我想對沖第一個主成分，或者第一個和第二個，我應該怎麼做？
那就是我尋求調整交易 $ \mathbf{x} $ 到投資組合 $ \mathbf{t} $ 這樣，例如；
$$ \mathbf{E^T (t + x)} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ \alpha \ \beta \ .. \end{bmatrix} $$
簡單的方向性價差交易對沖
如果交易風險的總和 $ t $ 為零（如在 2Y5Y10Y 價差交易的情況下），它立即提供了一個起點，可以從該起點對調整進行簡單計算。
例如，如果假設第一個主成分是直接市場驅動因素，並且因子載荷代表一種工具與直接市場的相對波動性，那麼
將交易頭寸除以因子負載將刪除該組件。
$$ \mathbf{\frac{t}{e_1} \cdot e_1} = \sum_i t_i = 0 $$
除法是按元素完成的。在這種情況下，調整 $ \mathbf{x} $ 區別是：
$$ \mathbf{x} = \mathbf{ \frac{t}{e_1} - t} \quad \implies (\mathbf{t + x}) = \mathbf{\frac{t}{e_1}} $$
請注意，這不是進行此計算的唯一方法。這不是一個獨特的解決方案；這種方法的優點是相對容易，對其設計有一個透明的假設。
更一般的情況
在這種情況下，風險 $ \mathbf{t} $ 總和不等於 0，或者希望對沖一個以上的主成分，我們可以考慮其他選擇。
一個合理的概念是建議人們尋求 $ \mathbf{x} $ 使其盡可能小，並且更改為 $ \mathbf{t} $ 因此在某種意義上是最小的。
人們可能還需要決定是否允許使用其他工具 $ \mathbf{x} $ ，或者如果我們必須堅持 2Y 5Y 或 10Y。假設我們現在只使用這 3 種工具，並且我們針對 $ l_2 $ 規範：
$$ \min_{\mathbf{x}} f(\mathbf{x}) = \frac{1}{2} \mathbf{x^T I x} $$
$$ \text{subject to} \quad \mathbf{e_1^T (t+x)} = 0 \quad \text{(1st PC hedged)} $$
這是一個二次程序，具有可通過 KKT 條件求解的等式約束：
$$ \nabla L(\mathbf{x},\lambda) = \begin{bmatrix} \mathbf{I} & \mathbf{e_1} \ \mathbf{e_1^T} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \ \lambda \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \mathbf{0} \ \mathbf{e_1^T t} \end{bmatrix} = 0 $$
通過小的重新排列，我們得到了塊矩陣求逆和抵消的公式：
$$ \begin{bmatrix} \mathbf{x} \ \lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{I - e_1 e_1^T} & \mathbf{e_1}\ \mathbf{e^T_1} & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{0} \ -\mathbf{e_1^T t} \end{bmatrix} $$
或者$$ \mathbf{x} = -\mathbf{e_1 e_1^T t} \quad \implies \mathbf{(t+x)} = (\mathbf{I - e_1 e_1^T) t } $$
自由程度
上述兩種方法會給出不同的結果，但在它們固有的假設下都是有效的。通用方法可用於中和多個組件，例如，如果您要中和 PC1 和 PC2（優化約束已擴展）。但是這樣做會降低解的自由度。例如，在 3 種工具配置中，如果 PC1 和 PC2 設為中性，則唯一有效的解決方案是交易是 PC3 的倍數。