我們怎麼能在金融中出現負機率？我們可以在債券中支付負數嗎？如果不是，我們怎麼會有負機率？
在硬幣的一半：負機率中，作者提到了債券久期。
假設我們有時有付款 $ t = 1,2,…,n $ 分別表示為 $ R_1, R_2, …, R_n $ 並且折扣因子是 $ v = \frac{1}{1+i} $ 在哪裡 $ i $ 是實際利率。那麼今天的債券價值由下式給出
$$ B = \sum_{t=1}^{n} R_tv^t $$ 債券久期為
$$ D = \frac{\sum_{t=1}^{n} tR_tv^t}{\sum_{t=1}^{n} R_tv^t} $$ 可以看出
$$ D = E[T] $$ 在哪裡
$ T $ 是一個有範圍的隨機變數 $ t = 1,2,…,n $ 每個都有機率 $ \frac{R_t v^t}{B} $
作者說如果我們有負數我們可以有負機率 $ R_t $ 的。所以這是一種債券，而不是付款，我們得到一定數量的錢？有這樣的事嗎？或者這只是理論上的？
當涉及到債券時，還有其他方法可以讓我們獲得負機率嗎？
沒有必要求助於負息債券。一個負面的 $ R_t $ 簡直就是負支付。
舉個簡單的例子，建立一個投資組合，包括做多 $ n $ 支付息票 C 的到期債券 $ t \in \left\lbrace 1, 2, …, n \right\rbrace $ 並做空面值零息債券 $ V > C $ 成熟於 $ t^* $ . 然後， $ R_t > 0 $ 為了 $ t \ne t^* $ ， 但 $ R_{t^} < 0 $ . 換句話說，淨現金流為正 $ t \in \left\lbrace 1, 2, …, n \right\rbrace \setminus \left\lbrace t^ \right\rbrace $ ，當時的淨現金流為負 $ t^* $ . 還假設利率嚴格為正。
清楚地， $ D = E \left[ T \right] $ 仍然。假如說 $ B = \sum_{t=1}^n R_t \nu^t> 0 $ （投資組合的淨實現值為正）， $ p_{t^} = \frac{\nu^{t^} R_{t^}}{B} < 0 $ . 還， $ \sum_{\tau \ne t^} p_\tau > 1 $ .
如果相反 $ B < 0 $ ， 然後 $ p_{t^} > 0 $ ， 但 $ p_\tau < 0 $ 為了 $ \tau \ne t^ $ （所有其他“機率”都是負數）。