假設短期利率預期已實現，如何從理論上計算套利
我不是要求一個非常量化的解釋，而是一個更直覺的解釋。
我知道，當涉及到結轉滾動時，可以採取不同的假設，例如實現遠期利率和收益率不變。
但我也讀到，如果短期利率的預期得以實現，則更好的假設是。理論上怎麼可能做到這一點？我知道對短期利率的預期與遠期利率有關，但不確定如何確定這一點。我讀到這很難實施，因為他們必須指定未來利率的預期，然後描述遠期利率是如何相對於預期形成的。
這是塔克曼在與我試圖理解的其他假設進行比較時引用的：
“計算結轉向下計算在概念上更具吸引力的情景是實現了對短期利率的預期。這比本節中介紹的其他情景更難以實施，因為投資者必須在未來，然後描述遠期利率是如何相對於這些預期形成的”
最讓我困惑的是最後一句話——當他說“然後描述遠期利率是如何相對於這些預期形成的？”時，他是什麼意思？
攜帶和滾下是直覺上相對簡單的概念。想像一下，你交易了一個 10 年的掉期合約，你支付固定利率並獲得 600 萬浮動利率。設想：
- 您的固定利率是： $ r_{10} $
- 您的首張 6m 浮動優惠券是 $ c_0 $ （在掉期交易開始時就固定了，因為浮動利率是“提前”固定的，並在六個月後支付）
- 掉期曲線向上傾斜：意味著： $ r_1<r_2<r_3<…<r_{10} $ （在哪裡 $ r_1 $ 是 1 年互換的固定利率， $ r_2 $ 是兩年掉期的固定利率等）。
在掉期交易的世界中，套利是指您在進入後持有頭寸的成本：當您交易掉期並且第一個浮動票面已固定時，在頭六個月持有頭寸（所有其他保持不變）將花費您的現值：“ $ c_0 - r_{10} $ ”。
（在我們的例子中，進位是負數，因為曲線向上傾斜，這意味著 $ c_0 $ 小於 $ t_{10} $ ，並且您支付固定金額（因此，如果您持有掉期直到第一個現金流實現，您肯定會獲得負進位 " $ c_0 - r_{10} $ ”，如果您假設收益率曲線與您進入交易時完全相同）。練習：說服自己遠期開始掉期的利差為零（為什麼？因為在開始時沒有固定浮動現金流）
滾降就是隨著互換到期日的縮短（即“滾下曲線”），您所有未來現金流如何重新估值*。*可以這樣想：在交易開始後的 6 個月內，您的 10 年互換將變為 9.5 年互換。在交易開始時，您承諾支付等於 $ r_{10} $ ，並且因為曲線是“向上傾斜”的，所以 9.5 年掉期的固定利率，即 $ r_{9.5} $ （在貿易開始時）低於 $ r_{10} $ . 如果你在交易開始時凍結這條收益率曲線並假設它在 6 個月內看起來完全一樣，你將坐在 9.5 年的互換合約上，但仍支付固定利率 $ r_{10} $ 高於 $ r_{9.5} $ : 所以你的降級也將是負數。
綜上所述：
- 進位和向下滾動是負數還是正數取決於掉期曲線的形狀。
- 套利只是您的固定利率和第一個浮動票息之間的差額（年化，通常以每天 bps 或每月 bps 表示）。
- Roll-down 是您的固定利率與掉期曲線上下一個（流動性）固定利率點之間的差值（到期時間較短）
進行債券：
- 您在開始時購買債券，您用於購買債券的資金需要以一定的資金利率提供資金 $ r_{funding} $ （假設您通過您的金庫每兩週滾動一次資金）
- 債券產生利息（假設按收益率，即 $ y $ )
- 如果債券存在流動性回購市場，您可以將債券借出並在回購中賺取額外的 bps（假設 $ r_{repo} $ 作為你所做的（假設每兩週翻轉一次））
假設您不再投資任何收益，您的債券總額 $ C $ 每月將是（債券名義= $ N $ )（所有年化率）：
$$ C=N\left(-2(r_{funding})+y+2r_{repo}\right)\frac{1}{12} $$
不完全回答你的問題，讓我們看一個簡化的例子。
假設你有一個利率互換。假設您使用從 3mo 和 6mo LIBOR 以及 1Y、1Y6M、2Y、3Y… 掉期利率建構的相同利率曲線來預測浮動腿的息票和貼現未來現金流。（使用 ED 期貨來建構曲線會導致無聊的技術問題。）
您在第 T-1 天計算掉期的公平價格。這包括固定和浮動腿的累積。
不完全是您所問的，而不是假設實現了 1 天遠期，讓我們使用與 T-1 相同的 LIBOR 和掉期利率報價在 T+0 上建立利率治療。即假設市場根本沒有變動：無論 T-1 上的 5Y 掉期利率是多少，在 T+0 上都是相同的（1 天后到期）。您使用這條滾動曲線計算第 T+0 天掉期的公平價格。固定腿和浮動腿上累積的變化是進位。由於時間流逝而導致的公允價值變動的其餘部分是滾降。
如果您嘗試建構損益表解釋，將公允價值從 T-1 到 T+0 的變化歸因於可觀察市場利率的變化，那麼像這樣計算滾降將留下比您更少無法解釋的損益在 T+0 上重新定價只是重新使用 T-1 的曲線（無視圖偏移，在 IR 變化的貢獻中重複計算已實現遠期的損益貢獻）。即折扣因素之類的 $ D(T+0,t)=D(T-1,t)/D(T-1,T+0) $ ?
繞過這種重複計算的另一種方法可能是將無視移位（實現前向）與一些 IR 時間交叉伽馬相結合，以抵消重複計算。